Ensayo De Series

4.1 Definición de series.

El estudio de las series constituyo toda una novedad en el siglo XVI. El lógico Richard Suiseth, cuyo sobrenombre era Calculador, resolvió este problema.

Si durante la primera mitad de un intervalo de tiempo una variación continúa a cierta intensidad, en el siguiente cuadro a intensidad doble, en el siguiente octavo a intensidad triple, y así ad infinitud, en tones la intensidad media para todo el intervalo será la intensidad de la variación durante el segundo subintervalo.

Esto equivale a decir que la suma de la serie

1/2+2/4+3/8+⋯+n/2n+⋯

Una importante aplicación de las sucesiones consiste en representar «sumas infinitas». Dicho brevemente, si {an} es una sucesión, entonces es una serie.

∑_(n=1)^∞▒an=a_1+a_2+a_3+⋯+a_n+⋯

Los números a1, a2, a3 ,… son los términos de la serie. A veces conviene comenzar en el índice n= 0 (o en algún otro entero). Un convenio frecuente, para aliviar la escritura consiste en escribir la serie simplemente como ∑▒an. En tal caso, el valor inicial del índice debe deducirse del contexto.

Para hallar la suma de una serie, consideramos la sucesión de sumas parciales.

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an

Si esta sucesión de sumas parciales converge, diremos que la serie converge y que su suma es la indicada en la siguiente definición.

EJEMPLO 1 Serie convergentes y divergentes.

La serie

∑_(n=1)^∞▒〖1/2^n =1/2+1/4+1/8+1/16+⋯〗

tiene las siguientes sumas parciales

S1 = 1/2

S2 = 1/2+1/4=3/4

S3 = 1/2+1/4+1/8=7/8

Sn = 1/2+1/4+1/8+⋯+1/2^n =(2^n-1)/2^n

De

lim┬(x→∞)⁡〖(2^n-1)/2^n 〗

Se sigue que la serie es convergente con suma 1.

La n-ésima suma parcial de la serie

∑_(n=1)^∞▒〖(1/n-1/(n+1))=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4) 〗+⋯

Como el límite de Sn = n, es 1, la serie converge y tiene suma 1.

La serie

∑_(n=1)^∞▒〖1=1+1+1+1+⋯〗

Diverge, ya que Sn, así que la sucesión de sumas parciales es divergente.

La serie del ejemplo 1b es una serie telescópica, o sea, de la forma

(b_1-b_2 )+(b_2-b_3 )+(b_3-b_4 )+(b_4-b_5 )+⋯ Serie telescópica

Nótese que b2 queda cancelado por el segundo término, b_3 por el tercero, etc. Puesto que la suma parcial n- énsima de estas serie es

s_n= b_(1 )-b_(n+1)

Se sigue que una serie telescópica converge si y solo si b_n tiende a una numero finito cuando n→∞. Además, si la serie converge, su suma será

s=b_1-lim┬(n→∞)⁡〖b_(n+1) 〗

EJEMPLO 2 Expresando una serie en forma telescópica

Calcular la suma de la serie

∑_(n=1)^∞▒2/(〖4_n〗^2-1)

Solución: Usado fracciones simples, escribimos

a_n=2/(〖4_n〗^2-1)=2/(2_n-1)(2_n+1) =1/(2_n-1)-1/(2_n+1)

De esta forma telescópica se desprende que la n-ésima suma parcial es

s_n=(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+⋯+(1/(2_n-1)-1/(2_n+1))=1-1/(2_n+1)

Así, pues, la serie converge y su suma es 1. Esto es,

∑_(n=1)^∞▒〖2/(〖4_n〗^2-1)=lim┬(x→∞)⁡〖s_n=lim┬(n→∞)⁡〖(1-1/(2_n+1))=1〗 〗 〗

Series geométrica

La serie del ejemplo 1a es una serie geométrica. En general, la serie dada por

∑_(n=0)^∞▒〖〖ar〗^n=a+ar+ar^2+⋯+ar^n+⋯a≠0〗

Serie geométrica

es una serie de geométrica de razón r.

Demostración: es fácil ver que la serie diverge cuando r=±1. Si r≠±1, entonces s_n=a+ar+〖ar〗^2+⋯〖ar〗^(n-1). Multiplicando por robtenemos

rs_n=ar+〖ar〗^2+〖ar〗^3+⋯+〖ar〗^n

Restando la segunda ecuación de la primera resulta s_n-〖rs〗_n=a-〖ar〗^n. Por tanto,s_n (a-r)=a(a-r^n ), y la n-énsima suma parcial es

s_n=a/(1-r) (1-r^n )

Si 0<|r|<1, entonces r^n→∞, luego

lim┬(n→∞)⁡〖s_n=lim┬(n→∞)⁡〖[a/(1-r) (1-r^n )]=a/(1-r)〗 [lim┬(n→∞)⁡〖1-r^n 〗 ]=a/(1-r)〗

Lo cual significa que la serie es convergente y que su suma esa⁄((1-r) ). Dejamos al lector la demostración de que la serie diverge cuando |r|>1.

EJEMPLO 3 Series geométricas convergentes y divergentes

La serie geométrica

∑_(n=0)^∞▒〖3/2^n =∑_(n=0)^∞▒〖3(1/2)^n 〗=3(1)+3(1/2)+3(1/2)^2 〗+⋯

tiene razón r=1⁄2 y a=3. Como 0<|r|<1, la serie converge y su suma es

s=a/(1-r)=3/(1-(1⁄2) )=6

La serie geométrica

∑_(n=0)^∞▒(3/2)^n =1+3/2+9/4+27/8+⋯

Tiene razón r=3/2. Como |r|≥1, la serie diverge.

La fórmula para la suma de una serie geométrica sirve para expresar un decimal periódico como cociente de enteros.

EJEMPLO 4 Una serie geométrica para un decimal

Expresa 0,080808 como cociente de dos enteros, usando una serie geométrica.

Solución: Dado 0,080808 podemos escribir

0,080808…=8/〖10〗^2 +8/〖10〗^4 +8/〖10〗^6 +8/〖10〗^8 +⋯=∑_(n=0)^∞▒(8/〖10〗^2 ) (1/〖10〗^2 )^n

En estas series, a=8/〖10〗^2 y r=1/〖10〗^2 . Asi pues,

0,080808…=a/(1-r)=(8/〖10〗^2 )/(1-(1/〖10〗^2 ) )=8/99

Divide 8 por 99 para ver que, en efecto, el resultado es 0,080808.

La convergencia de una serie no se ve afectada por la eliminación de un número finito de sus términos sus términos iniciales. Por ejemplo, las series geométricas

∑_(n=4)^∞▒(1/2)^n

Y

∑_(n=0)^∞▒(1/2)^n

convergen ambas. A demás puestos que la suma de la segundo serie es a⁄((1-r)=2), concluimos que la suma de la primera serie es

s=2-[(1/2)^0+(1/2)^1+(1/2)^2+(1/2)^3 ]

=2-15/8

=1/8

Las propiedades que se citan a continuación son consecuencias directa de las correspondientes para los limites sucesiones.

EJEMPLO 5 Aplicación del criterio

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