Solución de la Ecuación de Laplace en Coordenadas Cilíndricas

Solución de la Ecuación de Laplace

en

Coordenadas Cilíndricas

Si en alguna situación se presenta cierta simetría cilíndrica conviene tener la solución de la Ecuación de Laplace en términos de las coordenadas cilíndricas para ajustarla a las condiciones de fronteras particulares del problema. La Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas es:

(111)

con V función de r, , z. Comenzaremos por obtener la solución general en donde sólo se tiene dependencia radial, para luego tratar el caso en donde no se tiene dependencia en la coordenada Z, y finalmente donde se tiene dependencia en las tres coordenadas.

Dependencia Radial.

Cuando sólo se tiene dependencia en la variable radial de las coordenadas cilíndricas, la Ecuación de Laplace se reduce a:

(112)

Para determinar la solución general de V(r), integramos, obteniendo:

Dividiendo entre r e integrando de nuevo, tenemos que el potencial eléctrico es:

(113)

Ejemplo 1. Determinar el potencial para cualquier distancia radial r entre dos cilindros coaxiales de radios R1 y R2 (R1 < R2), que se encuentran a potenciales V1 y V2, respectivamente.

Solución 1. Las condiciones de frontera son:

(a) En la superficie del cilindro de radio R1 el potencial es:

(114)

(b) En la superficie del cilindro de radio R2 el potencial es:

(115)

Aplicando la condición de frontera indicada en (a), tenemos la relación:

y al considerar la condición señalada en el punto (b),

A partir de estas dos ecuaciones se tiene que las constantes son:

por lo que el potencial se puede escribir como:

(116)

Dependencia Radial y Angular.

Cuando no se tiene dependencia en la coordenada Z, la Ecuación de Laplace toma la forma:

(117)

Considerando como solución mediante el método de separación de variables, con el potencial en la forma:

(118)

al sustituir en la Ecuación de Laplace, y dividir entre ella, tenemos:

siendo n2 una constante de separación. Con esto la ecuación separada para la variable , es:

(119)

con solución:

(120)

Mientras que la parte de la ecuación dependiente de la coordenada r queda como:

(121)

Para n  0, si se propone como solución una función f1(r) = rp, al sustituir en la ecuación se tiene una ecuación cuadrática para p, con soluciones:

de tal manera que la solución general para la parte radial, con n  0, es:

(122)

Si n =0, la ecuación para la parte radial resulta:

la cual, al integrar directamente, tiene como solución (ver ec. 113):

Mientras que la ecuación correspondiente a la parte angular (ec. 119), para n = 0, es:

con solución:

Por lo tanto, la solución general de la Ecuación de Laplace, independiente de la coordenada Z, es:

(123)

Ejemplo 2. Un cilindro de material dieléctrico, con permitividad eléctrica  y radio R, se coloca en una región del espacio en donde se tiene originalmente un campo uniforme E0, de manera que el eje del cilindro queda perpendicular a la dirección del campo. Determinar el campo eléctrico, tanto en el interior como en el exterior del cilindro.

Solución 2. En este caso debemos de proponer una solución para el interior:

(124)

y otra para el exterior:

(125)

Las condiciones que deben de satisfacerse para determinar los valores de los coeficientes son:

(a) Al considerar al campo externo para cuando r tiende a ser muy grande, prácticamente debe de ser igual al campo eléctrico uniforme original,

o en términos del potencial:

(126)

siendo V0 una constante, que representa a un potencial de referencia.

(b) El potencial debe ser finito en el interior.

(c) En la frontera entre los dos medios (en r = R), se debe de tener la continuidad en las componentes interna y externa del campo eléctrico tangentes a la superficie, esto es:

(127)

Esta condición se puede escribir en función de los potenciales considerando que el negativo de la componente angular  del gradiente corresponde a la dirección tangente a la superficie, de tal forma que la condición 127 queda como:

(128)

(d) En la frontera entre los dos medios (en r = R), también se debe tener continuidad en las componentes del desplazamiento eléctrico normales a la superficie, esta condición escrita en términos de los campos eléctricos es:

(129)

Esta condición se puede escribir en función de los potenciales considerando que el negativo de la componente radial del gradiente corresponde a la dirección normal a la superficie, de tal forma que la condición 129 queda expresada como:

(130)

De la condición 126 para el potencial en el exterior, tenemos:

de donde se

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