Sucesiones

Una serie ∑_(n=1)^∞▒a_n es un par ordenado de sucesiones ((a_n), (s_n)) relacionadas por

La condición de que para cada n ϵ N es

s_n = a_1+a_2+•••+a_n.

El término n-ésimo de la primera sucesión, an, recibe el nombre de término n-ésimo de la serie; el término n-ésimo de la segunda sucesión, sn, recibe el nombre de suma parcial n-ésima de la serie.

Definición: Sea (a_n) nϵN una sucesión real. Definimos una nueva sucesión (A_n) nϵN; a la que le llamamos serie generada o engendrada por la sucesión (a_n), a la siguiente:

A_0 = a_0

A_1 = a_0 + a_1

A_2 = a_0 + a_1 + a_2 ...

A_n = a_0 + a_1 + aa_2 + … + a_n = ∑_(i=0)^n▒ai

A “A_n” se le llama suma parcial de la serie o también reducida enésima de la serie.

Usaremos la notación ∑a_n para referirnos a la serie generada por (a_n).

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Ejemplo 1: La sucesión dada por a_n = 1/n! genera (A_n) : A_n =∑_(i=0 )^n▒〖1/i!〗 .

Esta sucesión es conocida por nosotros (es decir, esta serie) y su lımite es el numero e .

Ejemplo 2: La sucesión dada por a_n = 〖( 1 )/3〗^( n) genera A_n =∑_(i=0)^n▒〖 〖(1/3)〗^i 〗 = (1-〖1/3〗^(n+1))/(1-1/3)

Donde su lımite es 3/2

Ejemplo 3 a_n = 〖(-1)〗^n genera A_n =∑_(i=0)^n▒〖 (-1)〗^i =1-1+1-1+1-…+〖 (-1)〗^n.

Por lo que,

Si n = x*2; tenemos que A_n =1, es decir, A2i =1

Si n ≠x*2; tenemos que A_n = 0, es decir, A2i+1 = 0

Siendo “x” cualquier número.

Entonces (A_n) no tiene lımite.

Como hemos podido observar, estas sucesiones tan particulares (a las que convenimos en llamar series) pueden tener lımite o no.

Además, las sucesiones pueden describirse escribiendo las reglas que especifican sus elementos, por ejemplo:

a_n = √n

b_n = 〖(-1)〗^(n+1) 1/n

c_n = (n-1)/n , etc.

O bien, listando sus términos,

{a_n }= {√1,√2,√3,…,√(n,)… }

{b_n }= {1,-1/2,1/3,-1/4,…,(-1)^(n+1) 1/n,…}

{c_n }= {0,1/2,2/3,3/4,4/5,…,(n-1)/n,… }

O en ocasiones se escribe

{a_n }= {√(n )}_(n=1)^∞

CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA.

En ocasiones los números en una sucesión se aproximan a un solo valor conforme al índice n crece. Como en la sucesión “{1,1/2,1/3,1/4,…,1/n,…}” cuyos términos se aproximan a 0 cuando n se hace grande, y en la sucesión {0,1/2,2/3,3/4,4/5,…,1-1/n,…} cuyos términos se aproximan a 1. Por otra parte, sucesiones como {√1,√2,√3,…,√(n,)… } tienen términos que se hacen más grandes que cualquier número a medida que n aumenta, y las sucesiones como {1,-1,1,-1,1,-1,…,(-1)^(n+1),…}, que saltan de 1 a -1 y viceversa, nunca convergen en un solo valor. La definición siguiente refleja el significado de tener una sucesión que converge a un valor límite. Dice que “si avanzamos en la sucesión tomando el índice n mayor que algún valor N, la diferencia entre a_n y el límite de la sucesión se hace menor que cualquier numero preestablecido ϵ > 0”.

Definición:

Convergencia, Divergencia, Límite.

La sucesión {a_n } converge al número L si para todo numero positivo ϵ existe un numero entero N tal que para toda n

n>N □(⇒┴ ) |a_n-L|< ϵ

Si no existe tal numero L, decimos que {a_n } diverge.

Si {a_n } converge a L, escribimos lim┬(n□(→┬ ) ∞ )⁡〖a_n 〗= L, o simplemente a_n L, y llamamos a L el límite de la sucesión.

Ejemplo: Determine si la sucesión es convergente o divergente y apoye gráficamente su respuesta.

{〖4n〗^2/(〖2n〗^2+1)}

Se desea determinar si lim┬(n□(→┬ ) ∞ ) {〖4n〗^2/(〖2n〗^2+1)} existe. Se considera f(x) ={〖4x〗^2/(〖2x〗^2+1)}, y se investiga lim┬(x□(→┬ ) ∞ ) f(x). Entonces: 〖lim〗┬(x□(→┬ ) ∞ ) {〖4x〗^2/(〖2x〗^2+1)} = 〖lim〗┬(x□(→┬ ) ∞ ) {4/(2+1/(x*x))} = 2.

Por tanto, por la definición, lim┬(n□(→┬ ) ∞ ) f(n)= 2. De este modo, la sucesión dada es convergente y {〖4n〗^2/(〖2n〗^2+1)} converge a 2. La figura muestra la gráfica de f y la recta y=2 trazadas en el rectángulo de inspección de [1,20] por [0,4] apoya la respuesta debido a que la recta parece ser una asíntota horizontal de la gráfica de f.

Ejemplo: Determine si la sucesión es convergente o divergente.

{n sen π/n}

Se desea determinar si lim┬(n□(→┬ ) ∞ ) n sen π/n existe. Se considera f(x) = x sen π/x. Como f(x) puede escribirse como [sen π/x]/(1/x) y lim┬(x□(→┬ ) ∞ ) sen π/x = 0 y lim┬(x□(→┬ ) ∞ ) 1/x=0, puede aplicarse L’Hopital para obtener…

lim┬(x□(→┬ ) ∞ ) f(x)= lim┬(x□(→┬ ) ∞ ) (-π/x^2 cos⁡〖π/x〗 )/((-1)/x^2 ) = lim┬(x□(→┬ ) ∞ ) π cos⁡〖π/x〗 = π. Por tanto,…

〖lim〗┬(n□(→┬+) ∞ ) f(n)= π, así la sucesión es convergente y {n sen π/n} converge a π.

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