Limite De Sucesiones

LIMITES

1 L¶³mites de Sucesiones

De¯nici¶on 1.1 Sea fang+1

n=0 una sucesi¶on de n¶umeros reales. Se dice que lim

n!+1

an = l, o que la sucesi¶on CONVERGE

a l, si y s¶olo s¶³

8 ² > 0 existe R > 0 tal que n > R ) jan ¡ lj < ²:

Esto signi¯ca que cuando n se hace m¶as y m¶as grande los n¶umeros an se estan acumulando cerca de l.

Ejemplo:

Si p > 0, entonces

lim

n!+1

1

np = 0:

Demostraci¶on:

Si alguien nos da un ² > 0 nosotros elegimos R = 1

²

1p

y tendremos n > R ) j 1

np ¡ 0j = j 1

np j < 1

Rp = ². 2

Ejercicio:

En el caso de la sucesi¶on constante an = C para todo 2 N se tiene

lim

n!+1

C = C:

Demostraci¶on:

No puede ser mas f¶acil pues dado ², cualquier R sirve. 2

Ejemplo:

Considere la sucesi¶on f(¡1)ng+1

n=0. Probaremos que ella no tiene l¶³mite. Argumentamos por contradicci¶on. Si esta

sucesi¶on tuviera un l¶³mite l, entonces si l 6= 1 tomando ² = jl¡1j

2 deber¶³a existir N tal que n > N ) j(¡1)n ¡ lj < jl¡1j

2 .

Tomando n como cualquier n¶umero PAR mayor que N obtenemos j1¡lj < jl¡1j

2 . Esta contradicci¶on demuestra que no se

puede tener que l 6= 1. La ¶unica posibilidad que nos queda es que l = 1, pero en este caso tomando ² = 1 deber¶³a existir

K tal que n > K ) j(¡1)n ¡ lj < 1. Tomando ahora cualquier natural IMPAR mayor que K se tendr¶³a j ¡ 2j < 1. Lo

que tambi¶en es una contradicci¶on y por lo tanto la sucesi¶on no puede tener l¶³mite.

Observaci¶on:

Hacemos notar que las tres a¯rmaciones siguientes son equivalentes.

1) lim

n!+1

an = l:

2) lim

n!+1

(an ¡ l) = 0:

3) lim

n!+1

jan ¡ lj = 0:

En efecto:

lim

n!+1

an = l signi¯ca

8² > 0 existe R tal que n > R ) jan ¡ lj < ²:

1

lim

n!+1

(an ¡ l) = 0 signi¯ca

8² > 0 existe R tal que n > R ) j(an ¡ l) ¡ 0j < ²:

lim

n!+1

jan ¡ lj = 0 signi¯ca

8² > 0 existe R tal que n > R ) jjan ¡ lj ¡ 0j < ²:

Como estas tres a¯rmaciones son exactamente la misma la observaci¶on queda demostrada.

Pasamos ahora a demostrar algunos teoremas b¶asicos sobre l¶³mites. Empezamos por el teorema de la suma.

Teorema 1.1

Si fang+1

n=0 y fbng+1

n=0 son dos sucesiones tales que lim

n!+1

an = l y lim

n!+1

bn = m, entonces la sucesi¶on suma,

f(an + bn)g+1

n=0 converge y lim

n!+1

(an + bn) = l + m.

Demostraci¶on:

Sea ² dado.

Como lim

n!+1

an = l se tiene que existe R1 tal que

n > R1 ) jan ¡ lj <

²

2:

Como lim

n!+1

bn = m se tiene que existe R2 tal que

n > R2 ) jbn ¡ mj <

²

2:

Observamos que

j(an + bn) ¡ (l + m)j · jan ¡ lj + jbn ¡ mj:

Ahora tomando R = max(R1;R2) se tiene que

n > R ) j(an + bn) ¡ (l + m)j < ²

lo que termina la demostraci¶on. 2

Ejercicio:

1. Si lim

n!+1

an existe y lim

n!+1

bn NO existe. Qu¶e puede decir de lim

n!+1

(an + bn)?

2. Si lim

n!+1

an NO existe y lim

n!+1

bn NO existe. Qu¶e puede decir de lim

n!+1

(an + bn)?

Antes de dar el teorema para el producto y el cuociente veremos el teorema del Sandwich que es bastante ¶util.

Teorema 1.2 (del Sandwich.)

Sean fang+1

n=1, fbng+1

n=1 y fcng+1

n=1 tres sucesiones tales que

an · bn · cn 8 n > K para alg¶un K > 0:

Entonces si

lim

n!+1

an = lim

n!+1

cn = l

se tiene que lim

n!+1

bn existe y

lim

n!+1

bn = l:

2

Demostraci¶on:

H¶agala como ejercicio. 2

Ejemplo:

Probar que lim

n!+1

(n) 1

n = 1:

Soluci¶on:

Es claro que (n) 1

n ¸ 1.

Pongamos

(n) 1

n = 1 + bn

donde bn ¸ 0 es el "error".

Se tiene

n = (1 + bn)n

y por lo tanto, por el Teorema del binomio,

n =

Xn

k=0

µ

n

k

¶

bk

n:

Como todos los t¶erminos en la sumatoria son positivos se tiene

n ¸

n(n ¡ 1)

2 b2

n:

De este modo, como bn ¸ 0, se tiene

bn ·

r

2

n ¡ 1

y por lo tanto

1 · (n) 1

n · 1 +

r

2

n ¡ 1:

Ahora el resultado sigue por el Teorema del Sandwich. 2

Observaci¶on:

Hacemos notar que en la demostraci¶on anterior hemos dado una estimaci¶on del error que resulta al aproximar (n) 1

n

por 1.

Tema de re°exi¶on:

Si lim

n!+1

an = +1 y lim

n!+1

bn = 0, con bn ¸ 0, Cu¶anto vale lim

n!+1

(an)bn en caso que exista?

Ejercicio: Demuestre que si A > 0, entonces

lim

k!1

A

1

k = 1:

Observaci¶on:

Si Ud. no se ha dado cuenta, el hecho que lim

n!+1

an exista, y lo que es, depende de los valores que toma la sucesi¶on

s¶olo para los n GRANDES. En este sentido tenemos el teorema siguiente.

Teorema 1.3

Si

an = bn 8 n > K 2 para alg¶un K > 0;

entonces

lim

n!+1

an existe si y s¶olo s¶³ lim

n!+1

bn existe

y en el caso de que existan se tiene

lim

n!+1

an = lim

n!+1

bn:

3

Demostraci¶on:

H¶agala como ejercicio. 2

Necesitamos ahora la siguiente de¯nici¶on.

De¯nici¶on 1.2

Una sucesi¶on fang+1

n=1 se dice ACOTADA si y s¶olo s¶³ existe M > 0 tal que

janj < M para todo n 2 N:

Teorema 1.4 Si fang+1

n=1 es una sucesi¶on convergente, entonces es acotada.

Demostraci¶on:

Si lim

n!+1

an = l, entonces tomando, por ejemplo, ² = 1 en la de¯nici¶on de l¶³mite sabemos que existe un natural K

tal que jan

...