Limite de una sucesion

LIMITE DE UNA SUCESION

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite. Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.

Definición formal

El termino general de una sucesión tiene límite , cuando tiende a , si para todo valor por pequeño que sea, existe un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de a es menor que , es decir:

.

Notación

o bien

o también

o simplemente

LIMITE DE UNA SUCESION COMPLEJA

Se dice que la sucesión converge hacia un complejo si y solo si

Nótese que es la misma definición que para , con modulo en lugar del valor absoluto.

Se puede escribir

o más simplemente, si no hay ambigüedad

Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden: el límite es único, una sucesión convergente tiene modulo acotado, toda sucesión de Cauchy converge (en efecto, es también completo).

LIMITE DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL

Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales.

Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia. En la figura que sigue, la primera gráfica, es la gráfica de una función ; la segunda, no es la gráfica de una función:

En el primer caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no están únicamente determinados.

Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica.

CALCULO DE LÍMITES

Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (poli nómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0,∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos. Si coinciden, este es el valor del límite. Si no coinciden, el límite no existe.

.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda: Por la derecha: Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda: Por la derecha: Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite

...