Límite de una sucesión
Enviado por juliokruspe • 18 de Septiembre de 2014 • Síntesis • 768 Palabras (4 Páginas) • 397 Visitas
Límite de una sucesión[editar]
La sucesión para converge al valor 0, como se puede ver en la ilustración.
Artículo principal: Límite de una sucesión
La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a .
Formalmente, se dice que la sucesión tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), y se denota como:
si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural mayor que converjan a cuando crezca sin cota. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:
Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.
Límite de una función[editar]
Visualización en un sistema decoordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Artículo principal: Límite de una función
En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. El punto c es punto de acumulación del dominio de la función.1 Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:
si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.
Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:
"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:
Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:
Para la función f(x) = x2 - 9/ x - 3 se tiene límite en el punto 3, que no está en el dominio,
...