Limite de una sucesión.

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Límite de una sucesión

Autores:

-Majirel Taris

-Noemi Torres

Profesora:

-Galina García

Introducción:

Una sucesión es simplemente una función f: NR representada usualmente por una que se llama elemento n-ésimo de la sucesión y se escribe: a1, a2, ..., an, an+1[pic 3]

A veces en la sucesiones tienden a acercarse a un número en específico mientras esta van creciendo, a este número lo llamaremos límite, el cual se escribirá como L, siendo  una sucesión y L el número al cual converge la sucesión.[pic 4][pic 5]

Para que se cumpla la definición tienen que haber ciertos parámetros que tiene que cumplir.

Diremos que una sucesión (a1, a2,..., an, an+1) es convergente al límite α, o que
converge a α, cuando n →,  = α si para cualquier ε > 0, ∃n0  N
tal que se cumpla la desigualdad |an − α| < ε, ∀ n > n0. Si una sucesión no tiene límite, se dice que es divergente.[pic 6][pic 7][pic 8]

A continuación se demostrará por definición que[pic 9]

[pic 10]

• Lo primero que se hará es reemplazar el Xn por la sucesión ya propuesta:

              [pic 11]

• Para facilitar su demostración se factorizará

    [pic 12][pic 13]

• Luego se utilizara una propiedad ya conocida:

       [pic 14][pic 15]

• Con esto concluimos que

      [pic 16][pic 17]

• Para facilitar su comprensión se analizará cada uno por separado

  => se sabe que cuando es el dividendo en una sucesión esta tiende a 0 y al ser sumado con una cantidad  quedará que el  = a[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

• por lo tanto :

  = c, usando la misma lógica [pic 22]

• Con esto se puede concluir que:

              [pic 23]

Ahora remplazando a, b c y d se podrá comprobar la demostración anterior:

Donde a = 2;  b = 5;  c = 3;  d = 1

Considerando la sucesión Xn   . Se demostrara que  n =[pic 24][pic 25][pic 26]

0 tal que    , 0  [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

 [pic 31]

Por Arquímedes  [pic 32]

Escogiendo n0 =  [pic 33]

Se puede asegurar la convergencia de la sucesión Xn =[pic 34][pic 35]

Para saber si la sucesión es creciente o decreciente se reemplazara  los siguientes datos en:     Xn [pic 36]

X1 =  [pic 37]

X2 = [pic 38]

X3 =[pic 39]

X4 = [pic 40]

Por los datos anteriores, se concluye  que la sucesión es decreciente.

Al saber que la sucesión es decreciente solo falta  comprobar si la formula dada en la sucesión tiene cota inferior o esta tendera al infinito.

Se estudiara el comportamiento de los términos en una vecindad de :[pic 41]

• Tomando   -1 [pic 42]

               [pic 43][pic 44][pic 45]

I                         I                         I           [pic 46]

0,59                    0,6                     0,7

Por definición:       , 0[pic 47][pic 48]

[pic 49]

Quedando   [pic 50]

0[pic 51]

Para sintetizar mejor se ordenaran los datos en tablas, donde se tomaran 10 números mayores y menores que  0.[pic 52]

...