Suma De Pares

Suma de pares

Considere dos planos P1 y P2 que se interceptan y dos pares que actúan, respectivamente, en P1 y P2. Se puede suponer, sin perder la generalidad, que el par en P1 consta de dos fuerzas F1 y –F1 perpendiculares a la línea de intersección de los planos y que actúan, respectivamente, en A y B.

Similarmente, se supone que el par en P2 consta de dos fuerzas F2 y –F2 perpendiculares a AB y que actúan, respectivamente, en A y B. es obvio que la resultante R de F1 y F2 y la resultante –R de –F1 y –F2 forman un par. Representando por r al vector que une a B con A y recordando la definición de par, el momento M del par resultante queda expresado como sigue:

M = r x R = r x (F1 + F2)

Problema

Determine las componentes del par único que es equivalente a los dos mostrados.

Solución:

Los cálculos se simplificaran si se fijan en A dos fuerzas de 20 lb iguales y opuestas. Esto permitirá remplazar al par original de las fuerzas de 20 lb por dos nuevos pares originados por fuerzas de 20 lb , uno de los cuales se encuentra en el plano zx; el otro se encuentra en un plano paralelo al plano xy. Los tres pares mostrados en el croquis adjunto pueden ser representados por tres vectores de par M x , M y , y M z , dirigidos a lo largo de los ejes coordenados. Los momentos correspondientes son

M x = - ( 30 lb )( 18 in ) = - 540 lb*in

M y = + ( 20 lb )( 12 in ) = + 240 lb*in

M z = + ( 20 lb )( 9 in ) = + 180 lb*in

Estos tres momentos representan las componentes del par único M, equivalente a los pares dados. Así, se escribe

M = - (540 lb*in)i + (240 lb*in)j + (180 lb*in)k

Solución alternativa. Las componentes del par equivalente único M también pueden ser determinadas calculando la suma de los momentos de las cuatro fuerzas dadas con respecto a un punto arbitrario. Eligiendo al punto D, se escribe

M = M D = ( 18 in )j * ( -30 lb )k + [( 9 in )j – ( 12 in )k] * ( -20 lb )i

y, después de calcular los diversos productos cruz, se tiene

M = - (540 lb*in)i + (240 lb*in)j + (180 lb*in)k

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