Suma de términos de una progresión geométrica

lSuma de términos de una progresión geométrica[editar]

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica[editar]

Se denomina como Sn a la suma de los n primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

S_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

r \cdot S_n = r \cdot (a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n)

r \cdot S_n = r \cdot a_1 + r \cdot a_2 + ... + r \cdot a_{n-1} + r \cdot a_n

puesto que r \cdot a_i = a_{i+1}

r \cdot S_n = a_2 + a_3 +... + r \cdot a_n + a_{n+1}

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

r \cdot S_n - S_n =a_{n+1} - a_1

ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.

Despejando S_n

S_n = \frac{a_{n+1} - a_1}{r - 1} = \frac{a_1 \cdot r^n - a_1}{r - 1} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como

S_n = \frac{a_1 \cdot r^n - a_1}{r - 1} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

que expresa la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios a_m \ y \ a_n (ambos inclusive):

\sum_{k=m}^n a_k = \frac{r \cdot a_n - a_m}{r-1} =

a_1 \cdot \frac{(r^{n+1}-r^m)}{r-1} =

a_m \cdot \frac{(r^{n-m+1}-1)}{r-1}

...