TEMA: SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE VIBRACIÓN

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA ENERGÍA Y MECÁNICA

DEBER DE VIBRACIONES

TEMA: SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE VIBRACIÓN

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Realizado por: Muñoz Brandon

NRC: 2002

Fecha: 23/11/2016

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE VIBRACIÓN

En este capítulo nos centraremos en resolviendo la siguiente ecuación diferencial

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En la teoría lineal de la vibración, a1, a2 y a3 son coeficientes constantes que representan, respectivamente, los coeficientes de inercia, amortiguación y rigidez. La variable x representa el desplazamiento,  es la velocidad y  es la aceleración. Las derivadas primera y segunda de la variable x están dadas por[pic 4][pic 5]

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Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

La ecuación se denomina una ecuación diferencial homogénea cuando f(t)=0. En este caso, se tiene la siguiente ecuación:

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Una solución de prueba es asumir la función x (t) en la siguiente forma:

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Donde A y p son constantes a determinar. Diferenciando la ecuación anterior con respecto al tiempo tenemos:

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Sustituyendo las tres ecuaciones anteriores en la primera ecuación tenemos:

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Para obtener una solución no trivial se debe tener:

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Esto se llama la ecuación característica de la ecuación diferencial de segundo orden. La ecuación anterior tiene dos raíces p1 y p2 que pueden determinarse a partir de la fórmula cuadrática como:

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En consecuencia, tenemos las siguientes dos soluciones independientes:

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La solución general de la ecuación diferencial puede escribirse entonces como la suma de estas dos soluciones independientes, siempre que las raíces de la ecuación característica no sean iguales, es decir,

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Para la solución de esta ecuación se presentan 3 diferentes casos:

• Raíces Reales y Distintas:

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• Raíces Reales e Iguales:

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• Raíces Complejas:

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Condiciones Iniciales

Acabamos de ver que la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas de segundo orden contienen dos constantes arbitrarias que puede obtenerse imponiendo dos condiciones iniciales. Esto lleva a dos ecuaciones algebraicas que pueden ser resueltas para las dos constantes. A continuación veremos la determinación de estas constantes en los tres casos diferentes de raíces reales distintas, raíces reales e iguales y raíces complejas.

• Raíces Reales y Distintas:

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Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo tenemos:

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Si se dan dos condiciones específicas sobre el desplazamiento y  la velocidad,

Las ecuaciones anteriores pueden usarse para determinar las constantes A1 y A2. Por ejemplo,  y  son los valores iniciales para el desplazamiento y la velocidad tales que:[pic 23][pic 24]

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Sustituyendo tenemos:

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Con esto podemos encontrar las constantes A1 Y A2:

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• Raíces Reales e Iguales:

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Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo tenemos:

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Si se dan dos condiciones específicas sobre el desplazamiento y  la velocidad,

Las ecuaciones anteriores pueden usarse para determinar las constantes c1 y c2. Por ejemplo,  y  son los valores iniciales para el desplazamiento y la velocidad tales que:[pic 30][pic 31]

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Sustituyendo tenemos:

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Con esto podemos encontrar las constantes c1 Y c2:

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• Raíces Complejas:

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Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo tenemos:

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Si se dan dos condiciones específicas sobre el desplazamiento y  la velocidad,

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