TRANSFORMACIONES RÍGIDAS ESPECIALES

III

1. TRANSFORMACIONES RÍGIDAS ESPECIALES

1.1. Simetría Central

Definición II.1. Sea un punto del plano . Sea una semirrecta cualquiera de origen y un semiplano de borde la recta que contiene a la semirrecta . La t.r. se llama Simetría Central de centro , si

y

1.2. Propiedades de la simetría Central

Sea la t.r. en la que y , con y semirrectas opuestas de origen O y, y semiplanos opuesto de borde la recta . Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

C.1. y .

Demostración:

En cualquier t.r. las imágenes de semirrectas opuestas y las imágenes de semiplanos opuestos son respectivamente, semirrectas opuestas y semiplanos opuestos. Por lo tanto, como

, resulta que será la semirrecta opuesta de . Es decir, la semirrecta .

Lo mismo para los semiplanos opuestos. ■

C.2. es involutiva. Es decir; sean y dos conjuntos de puntos se cumple que si y solo si

Demostración: para probar que es involutiva, basta con probar que .

■

aplicación de C1

C.3. La recta es estable.

Demostración:

Por lo tanto es estable ■

C.4. El plano que contiene a , es estable

La demostración queda como ejercicio

C.5. El punto es fijo.

Demostración: Como es el origen de la semirrecta , es el origen de la semirrecta

, es decir,

...