TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

1.- INTRODUCCIÓN

Los resultados de las medidas se expresan numéricamente, asociando valores

concretos a las magnitudes medidas directa o indirectamente: masa, volumen

concentración, temperatura, etc. Al asignar un determinado valor a una magnitud

mediante un proceso de medición, directa o indirecta, hemos de contar con el hecho de

que siempre va a ir acompañado de cierta imprecisión. Dado que todas las leyes

experimentales surgen de la sistematización de los resultados de medidas de laboratorio,

es totalmente imprescindible tener en cuenta las limitaciones en la exactitud y precisión

de dichos resultados para tener una idea clara de su validez, en definitiva, de las propias

leyes y de sus conclusiones.

2.- TIPO DE ERRORES EXPERIMENTALES

La clasificación de los tipos de error suele hacerse con base en la fuente de

procedencia. Así se suele hablar de los siguientes errores:

2.1. Sistemáticos: Son errores que se originan siempre en la misma dirección en

cada medida y disminuyen la exactitud de la misma. Es el caso de los instrumentos de

medida mal calibrados, por ejemplo una balanza que nos hace que cualquier masa que

se mida resulte siempre desplazada unos gramos más (o menos) de su valor real.

2.2. Personales: A esta categoría pertenecen los errores cometidos con más

frecuencia cuando se tiene poca experiencia en el laboratorio: lectura inadecuada de un

aparato, equivocación en el reactivo utilizado, etc.

Estos dos tipo de errores, sistemáticos y personales, no es posible o es muy

difícil cuantificarlos, por ello cuando detectemos un error de este tipo es necesario

comenzar el experimento de nuevo.

2.3. De escala: Es el error debido a la limitación en el poder resolutivo del

aparato. Es un error constante que dependerá del aparato en concreto que estemos

utilizando para medir.

2.4. Accidentales: Son debidos a las fluctuaciones e las distintas variables que

influyen en el sistema. Son imprevisibles e inevitables ya que no se puede ejercer un

control sobre estas fluctuaciones, incluso normalmente no se conocen todas las

variables que influyen. Dado su carácter aleatorio pueden ser tratados estadísticamente.

1Estos dos últimos tipos de errores, se diferencian de los anteriores porque sí se

pueden cuantificar, posteriormente veremos de que manera se lleva esto a la práctica

para el tratamiento de datos experimentales.

3.- ERRORES ABSOLUTOS Y RELATIVOS

El error absoluto ∆ nos indica la “exactitud” de una medida. Decimos que una

medida es tanto mas exacta cuanto menor sea el intervalo fijado por el error absoluto.

Dada una medida experimental de una magnitud, a, y un error absoluto, el valor

verdadero de la magnitud A debe estar comprendido entre

a + ∆a ≥ A ≥ a - ∆a (1)

Cuanto mayor seguridad queramos tener de que la ecuación anterior se cumple,

mayor deberá ser el valor de ∆a.

El error absoluto, ∆a, tiene las unidades de a y se expresa siempre como valor

positivo.

Para comprobar la bondad de las medidas, no es suficiente considerar el valor de

error absoluto. Supongamos por ejemplo que medimos dos longitudes diferentes

obteniendo como resultado

l1=(1.2±0.1)m.

l2=(150.3±0.1)m.

Las dos medidas, como puede apreciarse, tienen el mismo error absoluto y sin

embargo la segunda medida es claramente mejor que la primera. Por eso se hace

necesario introducir el concepto de error relativo, que se define como:

x

∆abs ε= (2)

A menudo se suele expresar el error relativo en %.

El error relativo no tiene unidades y siempre es positivo.

*100 *100

x

(%) abs

=ε

∆

ε =

Conociendo el error relativo tendremos una idea clara de la bondad de nuestra

medida, independientemente del valor de la misma. En el ejemplo anterior:

ε1

(%) = 0.1/1.2*100 = 8%

ε2

(%) = 0.1/150.3*100 = 0.06%

Es evidente que l2 es una medida “mejor” que l1.

24.- PROPAGACIÓN DE ERRORES

En la mayoría de las ocasiones una vez medida una o varías magnitudes con sus

errores, se trata de obtener los errores de otra u otras magnitudes relacionadas con las

anteriores. Así por ejemplo podemos medir el lado de un cubo con su error y a partir de

este obtener el valor del volumen con el suyo.

4.1 Funciones de una sola variable

Sean dos magnitudes x e y relacionadas por

y = f(x) (3)

Cuando variamos x en ∆x, obtenemos en y una variación de ∆y así:

y+∆y=f(x+∆x) (4)

Desarrollamos f(x+∆x) por Taylor y obtenemos

y+∆y=f(x)+ x ...

dx

d f(x)

2

1

. x

dx

df(x) 2

2

2

∆ + ∆ + (5)

Si restamos y, en ambos términos de la ecuación nos queda

x ...

dx

d f(x)

2

1

y f'(x). x

2

2

2

∆ = ∆ + ∆ + (6)

Si suponemos que ∆x es pequeño, mucho mas pequeño será ∆x

2

, ∆x

3

... Por tanto en

primera aproximación tenemos

∆y ≈f'(x).∆x (7)

Si tomamos valores absolutos para que ∆y e ∆x sean positivos

∆y ≈f'(x).∆x (8)

donde ∆x e ∆y son los errores absolutos de x e y respectivamente.

El error relativo podríamos obtenerlo a partir de ∆y

y

y

y

∆

ε = (9)

Sin embargo el error relativo también podríamos obtenerlo dividiendo la ecuación (8)

por |y| en ambos términos.

. x

f(x)

f'(x)

y

y

= ∆

∆

(10)

que podemos transformarla en

. x

dx

d ln f(x)

εy = ∆ (11)

3Así que el error relativo podemos obtenerlo también tomando logaritmo

neperiano de la función f(x); derivando esta nueva función (ln f(x)) con respecto a x y

multiplicando por el error absoluto de x.

Ejemplo. Sea la función y=ln x, conocemos x e ∆x, y queremos conocer los errores

absoluto y relativo de x.

Error absoluto:

x

1

f'(x) =

∆y =f'(x).∆x

. x x

x

1

∆y = ∆ =ε

Error relativo

x lnx

1

ln

...