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Definición

El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.

Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo.

MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS

Sin forma determinada.

(Del griego, prefijo a, negación, y la palabra morfo, forma; literalmente, sin forma.)

Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las fórmulas de otras figuras.

EJEMPLOS DE FIGURAS AMORFAS:

NOTACION SUMATORIA (NOTACION SIGMA)

En nuestro desarrollo de la integral definida se empleara sumas de muchos números. Para expresar dichas sumas en forma compacta, es conveniente usar la notación de suma, (notación sumatoria o notación sigma).

DEFINICION:

El sumatorio o la sumatoria es un operando matemático que permite representar sumas de muchos sumandos.

El nombre de esta notación se denomina de la letra griega: (Sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma").

La notación sigma :

DONDE: La ecuación anterior se lee la "suma de desde hasta ."

Indica una suma.

K es el índice de la suma o variable de la sumatoria.

Los números 1 y n indican sus valores extremos.

EJEMPLOS CON LA NOTACION SIGMA.

1. ∑_(i=1)^6▒i

2. ∑_(i=0)^5▒〖(i+1)〗

3. ∑_(j=3)^7▒j^2

4. ∑_(k=1)^n▒〖1/n(k^2+1)〗

5. ∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)∆x〗

6. ∑_(i=1)^4▒〖i^2 (i-3)〗

7. ∑_(i=0)^3▒2^i/((i+1))

PROPIEDADES DE LAS SUMAS:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. ∑_(i=1)^n▒c=cn

SUMAS DE RIEMANN

En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

SUMA DE RIEMANN :

Sea f una funcion definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea ∆ una particion de [a,b] dada por:

R_p=∑_(i=1)^n▒〖〖f(w〗_i)∆x_i 〗

DONDE: w_i=es algún numero en 〖[x〗_(i-1),x_i] para i=1,2,…..,n.

∆x_i= es el ancho del i-esimo subintervalo.

METODOS: Hay cuatro métodos comunes para computar una suma de Riemann:

Izquierdo

Derecho

Medio

Trapezoidal.

APROXIMACION CON LA SUMA DE RIEMANN

El área por debajo de una curva puede ser aproximada con la suma de Riemann:

Area=∑_(k=1)^n▒〖〖f(w〗_k)∆x_k 〗

DONDE: w_k=es algún numero en 〖[x〗_(i-1),x_i] para i=1,2,…..,n.

∆x_k= es el ancho del i-esimo subintervalo.

1.4. DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA

Si “F” se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite:

Entonces “f “es integrable en [a,b] y el limite se denota por:

LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN:

Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b], entonces el área de la región acotada por la grafica de f del “eje x” y las rectas verticales x=a y x=b está dada por :

Área:

∫_a^b▒〖F(x〗)dx

Escribir la integral: f(x)=4x-x^2

∫_0^4▒( 4x-x^2)dx

Ejemplo de áreas de figuras geométricas comunes.

Dibujar la region correspondiente a cada integral definida. Evaluar después cada integral utilizando una formula geométrica.

a.

∫_1^3▒4dx

b.

∫_0^3▒〖(x+2)dx〗

c.

∫_(-2)^2▒〖√(4-x^2 ) dx〗

Rectangulo Trapezoide semicirculo

A=lw A=1/2 (h)(a+b) A=1/2 πr^2

=2*4=8

=1/2 (3)(2+5)=21/2

=1/2 π〖(2)〗^2=2π

1.5. TEOREMA DE EXISTENCIA Y 1.6. PROPIEDADES

Definicion de dos integrales definidas especiales:

Si f está definida en x=a, entonces

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