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4.1 Definición De Serie

Las series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas. Aunque se define simplemente como la suma de términos finitos o infinitos, tiene una gran importancia. Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como elúltimotérmino. Por otro lado, una serie infinita continúa sin interrupción. Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puede considerar como una serie finita, mientras que una serie de la forma {2, 4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita. En algunos casos, es beneficioso convertir un número o una función en forma de series infinitas lo cual a su vez puede ayudar en su cálculo. Incluso puede lograr que el cálculo complejo sea más fácil. Por ejemplo, para el cálculo exponencial, este puede ser convertido en la forma:

Esta técnica de expansión puede ser utilizada eficazmente con el fin de obtener los valores estimados de la función, de las integrales o para resolver ecuaciones diferenciales, algebraicas o integrales. Cuando la serie infinita es remplazada por la suma de los términos iniciales de la serie, un valor de error aproximado puede ser estimado, lo que a su vez, ayuda en la determinación de la razón de convergencia efectiva para la serie correspondiente. Las series pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente tiene las siguientes propiedades:

1) Si el término parcial de la sucesión de la serie converge, entonces se dice que toda la serie es convergente. Por otro lado, si el término parcial de la sucesión diverge, la serie también diverge.

2) En caso que el resto de alguna parte de la serie converja, entonces toda la serie converge y viceversa.

3) Si una serie de la forma converge, entonces la serie de la forma converge también.

4) Si la serie de la forma converge, entonces la serie de la forma converge.

5) La serie converge, sólo con la condición de que también converja.

6) Se dice que una serie de la forma es convergente si α> 1 y diverge en el caso inverso, es decir, cuando α<1.

Puede suceder el caso que la suma de las series sea desconocida.

En ese caso, la condición de Cauchy puede ser utilizada con el fin de encontrar la convergencia de la serie.

De acuerdo con la condición de Cauchy, existe un número n∊para cada ∊> 0, el cual satisface la condición , n>nε. Aquí p es un entero positivo.

Una serie que contiene los términos positivos tiene su importancia en la teoría de las series. Una condición necesaria e importante para que estos tipos de series sean convergentes es que la sucesión de la suma parcial debe ser limitada.

Por otro lado, si se cumple la condición , entonces la serie diverge.

Veamos un ejemplo del concepto de series convergentes y divergentes. Suponga que la forma de la series.

Con el fin de determinar si la serie dada converge o diverge,

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