Teoria De Distribuciones

Teoría de Distribuciones

En análisis matemático, una distribución o función generalizada es un objeto matemático que generaliza la noción de función y la de medida.

Además la noción de distribución sirve para extender el concepto de derivada a todas las funciones localmente integrables y a entes aún más generales. Su uso es indispensable en muchos campos de las matemáticas, la física y la ingeniería. Así, por ejemplo, se utiliza en el análisis de Fourier para obtener soluciones generalizadas de ecuaciones en derivadas parciales. También juegan un papel muy importante en electrodinámica cuántica y en procesamiento de señales.

Las "funciones generalizadas" fueron introducidas por Sergéi Sóbolev en 1935. Independientemente y a finales de la década de 1940 Laurent Schwartz formalizó la teoría de distribuciones, lo que le valió la medalla Fields en 1950.

Introducción

En diversos ejemplos físicos idealizados aparecen objetos matemáticos (cuasi-funciones) similares a las funciones convencionales cuyo uso daba soluciones consistentes a diversos problemas físicos, pero que no podían ser tratados estrictamente como funciones matemáticas convencionales. Algunos ejemplos de problemas donde aparecían estas "cuasi-funciones":

• Problemas donde aparecía la "derivada" de una función discontinua. Obviamente en ese tipo de problemas las derivadas convencionales no estaban definidas, pero existían substituciones formales que sugerían que el concepto de función matemática debía ser ampliado para incluir objetos que pudieran comportarse como la derivada convencional, pero que fuera además aplicable a funciones discontinuas.

• Igualmente Dirac introdujo un objeto matemático δ que debía tener la siguiente propiedad:

Aunque ese objeto matemático compartía ciertas propiedades con las funciones referentes a su integración, se podía probar que no existía ninguna función matemática convencional δ que fuera solución de la anterior ecuación.

Los dos problemas anteriores están relacionados, y la teoría de distribuciones demostró que pueden definirse un tipo de funciones generalizadas o distribuciones tales que permiten tratar rigurosamente los dos problemas anteriores. El concepto de distribución generaliza al de función, ya que de hecho toda función matemática convencional puede ser considerada también como un caso particular de distribución.

Definición formal

Una distribución convencional sobre es un elemento del espacio dual topológico del espacio vectorial de funciones de clase sobre un cierto conjunto cuyo soporte es un conjunto compacto. Es decir, una distribución es una función lineal y continua definida sobre un cierto espacio de funciones diferenciables definidas sobre conjuntos cerrados contenidos en . Las funciones definidas sobre el conjunto se llama espacio de funciones test.

En el caso de las distribuciones convencionales sobre se requieren dos condiciones sobre las funciones test definidas sobre :

• Deben ser infinitamente diferenciables, es decir de clase, .

• Deben ser funciones cuyo soporte sea compacto.

Si se relajan las condiciones sobre la funciones definidas sobre entonces se obtiene una clase de distribuciones menos amplia que las distribuciones convencionales. Por ejemplo si se substituye la segunda condición por la siguiente condición:

• Las funciones test son funciones de decrecimiento rápido, es decir, tienden a cero más rápidamente que el inverso de cualquier polinomio.

La clase de distribuciones obtenidas se llama distribuciones temperadas.

Soporte compacto

• Se dice que una función de test φ tiene soporte compacto si el conjunto de puntos donde la función es diferente de cero es compacto.

• Se dice que una distribución S tiene soporte compacto si existe un conjunto compacto K de U tal que para cada función test φ cuyo soporte no se interseca con K se tiene que S(φ) = 0. Alternativamente podemos definir las distribuciones de soporte compacto como funciones lineales continuas sobre el espacio C∞(U),

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