Teoria De Juegos

Tema1. Introducción a la teoría de juegos

1.1 Introducción.

La teoría de juegos como concepto es tan antigua como la humanidad. Siempre se han utilizado estrategias como parte de la vida social, y también siempre se ha jugado por placer.

El primer caso verdaderamente identificable como teoría de juegos es el conocido como “equilibrio de Cournot”, desarrollado por Antoine Augustin Cournot, que modeliza una situación de duopolio en un mercado. Consiste en un conflicto entre dos jugadores, los duopolistas, que intentan conseguir el mayor beneficio particular posible. En esencia, el resultado es que existe un punto de equilibrio del cual a nadie le interesa moverse salvo que el otro jugador se mueva antes. Realmente, es un avance del concepto de equilibrio de Nash.

Posteriormente, Francis Ysidro Edgeworth crearía el concepto de “caja de Edgeworth”, donde una curva conocida como línea de contrato recoge todas las posibles soluciones de un juego determinado. También las aportaciones de Wilfredo Pareto serían de capital importancia (aunque sin que él lo supiera todavía) para el desarrollo de la Teoría de Juegos.

La verdadera literatura específica empieza en 1927 con von Neumann (considerado el padre de esta disciplina) y su teorema minimax, diseñado para resolver los juegos de suma cero. En 1944 escribe “Theory of games and economic behavior” junto con Oskar Morgenstern, que versa sobre juegos cooperativos y que obtuvo gran notoriedad. Más tarde serían las investigaciones de John Nash sobre juegos no cooperativos, publicados en su tesis doctoral y en una serie de artículos escritos en la universidad de Princeton. Tras sus contribuciones, la Teoría de Juegos adquiriría relevancia generalizada e invadiría numerosas ramas de la ciencia.

1.2 Elementos del juego.

• Jugador: personaje participante en el juego

• Reglas: directrices que rigen el juego y su funcionamiento

• Estrategia: criterio de juego que le dice al jugador cómo jugará ante cualquier situación que pueda presentarse.

• Pagos (payoff): consecuencia final del juego. El concepto engloba tanto los positivos (hablaremos de cobros) como los negativos (pagos).

* Ejemplo de juego: juego de Hotelling.

En una playa hay 2 chiringuitos, que pueden colocarse donde deseen. Los compradores siempre acuden al establecimiento más cercano. ¿Dónde decidirá cada uno colocarse?

Consideramos que el primer chiringuito empieza en la posición A, y el segundo en el B. Cada uno de ellos atraerá a los clientes de su mitad de la playa, en el primer caso los clientes entre [-1,0] y en el segundo a los clientes entre [0,1]. Si alguno de los dos decide moverse, por ejemplo, el primero hasta el punto C, obtendrá ventaja sobre el otro, puesto que contará con los clientes de su mitad de la playa en exclusiva, más la mitad de los clientes del espacio entre él y el otro chiringuito. Esta situación hará que el otro chiringuito también decida moverse, por lo que se iniciará una secuencia de movimientos sucesivos en que la única situación estable es que ambos establecimientos se sitúen en la posición 0.

Esta situación se da a menudo en la realidad. Un buen ejemplo son los procesos electorales. Es habitual que haya dos grandes partidos de ideologías opuestas, que se reparten la mayor parte del electorado, separados por un partido bisagra situado al centro.

1.3 Juego del caldero de oro para dos jugadores, con información perfecta y sin azar.

Hay dos personas que recorren un laberinto. Cada vez que llegan a una encrucijada decide uno de ellos el camino a seguir. Los jugadores conocen el resultado de cada una de las elecciones.

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Éste es el grafo (o representación extensiva) asociado al juego, que contiene toda la información posible sobre el mismo: jugadores (quién decide cada vez), reglas (opciones) y pagos (lo que cobran). Si sabemos lo que pasa en cada paso (información completa), cada jugador elegirá la opción que no entraña muerte. A la solución se llega por inducción inversa. Se parte desde el premio, que es la única solución exitosa, y se recorre el grafo hacia atrás, analizando cuál es la alternativa preferible en cada uno de los nodos. De éste modo, obtenemos que la solución es: arriba, derecha, abajo.

Cuando los juegos son muy grandes, la representación suele hacerse en un cuadro llamado representación estratégica, que contiene menos información que un grafo pero presentada de forma más compacta.

2º jugador

izquierda derecha

1º jugador arriba/retrocede (0,0) (0,0)

arriba/abajo (0,0) (106,106)

abajo/retrocede (0,0) (0,0)

abajo/abajo (0,0) (0,0)

* Ejemplo: juego de entrar/no entrar.

Alcampo está considerando instalarse en un nuevo barrio donde ya hay otros supermercados. Para ello, analizará el mercado y las posibles consecuencias que puede tener su entrada con respecto a terceros. A tenor del grafo, ¿decidirá instalarse o no?

A la vista de la situación, por inducción hacia atrás vemos que, con información perfecta y decisiones racionales de ambas empresas, el resultado será que la empresa se instala y habrá paz en los precios, puesto que es el resultado que resulta más favorable para ambos tras las respectivas decisiones del otro jugador.

Sin embargo, hay ocasiones en que la información no se controla (por parte de los jugadores). Distinguimos dos casos:

- Azar

- Falta de información, también conocido como información incompleta o imperfecta.

1.4 Juegos con información perfecta y azar.

Consideramos el mismo juego con el mismo laberinto anterior, pero esta vez introducimos un elemento aleatorio en la última decisión.

Imaginemos que en la última intersección se lanza un dado y si sale 1 o 2 se retrocede, mientras que si sale 3, 4, 5 o 6 se va hacia abajo. ¿Cuáles son los cambios con la introducción del azar?

En primer lugar, el jugador cero, indica el jugador del azar, que no tiene voluntad, se pondrá en marcha aquello que resulte de lanzar el dado. Se indica con un cero en el nodo del grafo. En segundo lugar, habrá que calcular e indicar las probabilidades, el valor esperado de la lotería.

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