Teoria De La Medida

La teoría de la medida es una rama del análisis real que investiga las σ-álgebras, las medidas, funciones medibles e integrales. Es de importancia central en probabilidad y en estadística.

En matemática, una medida es una función que asigna un número real positivo o cero, interpretable como un "intervalo", un "área", un "volumen", o una "probabilidad", a los subconjuntos de un conjunto dado. El concepto es importante para el análisis matemático, la geometría y para la teoría de la probabilidad.

A menudo, el ambicioso objetivo de asignar una medida a todo subconjunto del conjunto base se revela inalcanzable. Solo será posible, o interesante en algunos casos, asignar medida a ciertas familias de subconjuntos, a los que llamaremos medibles. Las condiciones de consistencia que deben cumplir los miembros de estas familias quedan encapsuladas en el concepto auxiliar de σ-álgebra.

Índice [ocultar]

1 Definiciones formales

2 Propiedades

2.1 Monotonía

2.2 Uniones contables

2.3 Intersecciones contables

3 Medidas sigma-finitas

4 Completitud

5 Ejemplos

6 Contraejemplos

7 Generalizaciones

8 Véase también

Definiciones formales[editar]

Formalmente, una medida μ es una función definida en una σ-álgebra Σ sobre un conjunto X con valores en el intervalo real extendido [0, ∞], que verifica:

La medida del conjunto vacío es cero: μ(\varnothing \,) = 0.

Si E1, E2, E3, ... una sucesión contable de conjuntos disjuntos dos a dos de la σ-álgebra Σ y E es su unión, entonces μ(E) es igual a la suma de las medidas de los Ek; esto es,

\mu \left(\bigcup _{{i=1}}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{{i=1}}^{\infty }\mu (E_{i}).

La terna (X, Σ, μ) se denomina espacio de medida, y los elementos de Σ se denominan conjuntos medibles.

Propiedades[editar]

Varias propiedades pueden deducirse directamente de la definición.

Monotonía[editar]

μ es monótona: si E_{1} y E_{2} son dos conjunto medibles, con E_{1}\subseteq E_{2}, entonces \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).

Uniones contables[editar]

Si E1, E2, E3, ... es una sucesión contable de conjuntos medibles, su unión será también medible (por la definición de σ-álgebra), y

\mu \left(\bigcup _{{i=1}}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{{i=1}}^{\infty }\mu (E_{i}).

Si se tiene además que En ⊆ En+1 para todo n, entonces

\mu \left(\bigcup _{{i=1}}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{{i\to \infty }}\mu (E_{i}).

Intersecciones contables[editar]

Si E1, E2, E3, ...es una sucesión contable de conjuntos medibles, y En+1 ⊆ En para todo n, entonces la intersección de los conjuntos En es medible (de nuevo, por la definición de σ-álgebra); más aún, si al menos uno de los En tiene medida finita, entonces

\mu \left(\bigcap _{{i=1}}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{{i\to \infty }}\mu (E_{i}).

Esta igualdad no es necesariamente cierta si ninguno de los En no tiene medida finita; por ejemplo, para cada n ∈ N, tómese

E_{n}=[n,\infty )\subseteq {\mathbb {R}}.

Todos estos conjuntos tienen medida infinita, de modo que el límite al lado derecho de la igualdad es ∞; sin embargo, su intersección es vacía y por lo tanto tiene medida 0.

Medidas sigma-finitas[editar]

Un espacio de medida (X, Σ, μ) se dice finito si μ(X) es un número real finito (en lugar de ∞). Y se dice σ-finito (leído sigma finito) si X es la unión contable de conjuntos medibles de medida finita. Un conjunto en un espacio de medida tiene medida σ-finita si es una unión contable de conjuntos de medida finita.

Por ejemplo, los números reales con la medida de Lebesgue estándar forman un espacio σ-finito pero no finito. Considérese el intervalo cerrado [k, k+1] para cada entero k; hay una cantidad contable de tales intervalos, cada uno tiene medida 1, y su unión es la recta real completa. Alternativamente, tómense los números reales con la medida de conteo, que asigna a cada conjunto finito de números reales el número de puntos en el conjunto. Este espacio de medida no es σ-finito, ya que cada conjunto de medida finita contiene finitos puntos, y se necesitaría una cantidad no contable de ellos para cubrir la recta entera. Los espacios

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