Teoria Del Vinomio De Niwton

TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON

El binomio de Newton o teorema binomial fue creado por Isaac Newton en 1664 ó 1665, éste teorema sirve para obtener la potencia del n-èsimo término de un binomio teniendo las siguientes características:

a) Los binomios del tipo donde es el primer elemento del binomio y es el segundo elemento, ambos están relacionado con una suma o resta algebraica y se presentan con un exponente que puede ser :

 Entero positivo

 Entero negativo

 Fraccional negativo

 Fraccional positivo

b) En el desarrollo del binomio de Newton se obtiene una secuencia de términos.

c) El binomio del tipo , donde es entero y positivo tendrá términos en total.

d) Los binomios del tipo tendrán un número infinito de términos en su desarrollo.

e) El primer término de todo binomio será siendo cualquiera de los tipos de exponente mencionados anteriormente:

 Si es entero y positivo, la secuencia de términos comenzará en donde se decrementarà en 1 en cada termino sucesivamente hasta presentarse como en el último termino del desarrollo.

 Si es entero negativo o fraccional, la secuencia de términos comenzará en donde se decrementarà en 1 en cada termino sucesivamente.

 Si es entero y positivo, la secuencia de términos respecto al elemento comenzará en el primer término como donde posteriormente se incrementará en 1 en cada término sucesivamente hasta presentarse como en el último termino del desarrollo.

 Si es entero negativo o fraccional, la secuencia de términos respecto al el elemento comenzará con el elemento donde se incrementará en 1 en cada termino sucesivamente.

f) La suma de los exponentes en cualquier término del desarrollo corresponderá al exponente del binomio.

Notación Factorial

Denotado por el símbolo es la multiplicación sucesiva desde el número indicado por hasta 1 o bien desde 1 hasta

Ejemplo 1.

Si Entonces

Ejemplo 2.

Por definición.

Entonces:

Donde es un número real.

En el siguiente ejemplo podemos observar cómo reducir la expresión de un factorial en una división, eliminando la multiplicación sucesiva que se repiten tanto en el divisor como en el dividendo.

Ejemplo 3.

Sin reducción en la expresión:

Ejemplo 4.

Un factorial se puede desarrollar con combinaciones.

Siendo donde se busca combinaciones de en .

=combinaciones= 7 combinaciones de 3 = =

O bien:

= =

La formula de la combinación se puede expresar también como , donde se deducen las combinaciones de en elementos.

En términos de combinatoria representa la cantidad de maneras de obtener un subconjunto de " elementos" dentro de uno de " elementos" (o lo que es lo mismo, como elegir " elementos" dentro de " disponibles")

Desarrollo del binomio

La serie binomial se expresa por medio de dos formulas generales que a continuación se muestran.

Forma 1: Por factoriales

Forma 2: Por combinaciones

Dado que la formula de la combinación se define como:

Donde

Ejemplo 5.

El desarrollo del binomio en la forma 1 se puede expresar de la siguiente manera:

Ejemplo 6.

El desarrollo del binomio en la forma 2 se puede expresar de la siguiente manera:

Conteo de términos

El conteo se realiza comenzando con el término uno hasta llegar al último de la serie binomial, esto se aclara por la confusión que puede crearse al desarrollar el binomio con la forma 1 antes expresada con factoriales.

Termino:    

Nótese que el valor de el exponente es por lo tanto en el desarrollo del binomio hay términos, esto es .

Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 7: Resta entre los elementos de un binomio.

Cuando se presente la diferencia entre los elementos que componen el binomio, los signos entre términos se intercalan empezando por el primer término como positivo.

Ejemplo 8: El exponente como entero negativo.

La serie binomial sigue avanzando infinitamente, por lo tanto, aquel binomio con exponente entero negativo no tiene un fin en su desarrollo.

Se desarrolló el binomio con la formula que se expresa con factoriales, ahora probaremos con las combinaciones donde desarrollaremos hasta el

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