Teoría Axiomática De Los números Naturales

TEOREMA 2.3.b : ∀ a,b siempre se cumple solo una de estas posibilidades:

a <b, a = b, b < a La ley de tricotomía a, b ∈ ℕ

Demostración:

∀ a, b ∈ ℕ:

a ≤b v b ≤ a …………………………… teorema 1.3.d

Por la ley de dicotomía a, b ∈ ℕ; a = b  a  b

a ≤ b , a = b  a < b

 ……………… teorema 2.2

b ≤ a , b = a  b ≤ a

Supongamos:

a = b  a < b ………………………Hipótesis auxiliar

a < a ……………………. .. P.S

Lo cual es un absurdo.

análogamente:

a = b  b < a ……………………… Hipótesis auxiliar

b < b

Lo cual es un absurdo.

Finalmente Supongamos:

a < b  b < a ……………………… Hipótesis auxiliar.

a < b  b < a ……………………….. teorema 2.3.a

Lo cual es un absurdo

 De (i), (ii) y (iii) Solo se cumple una de las 3 posibilidades.

Nombre : Juan Francisco Huiman Nakandakari.

Tema : Demostración de Teoremas 2.3.b y 2.3.c

Profesor : Yimy García Cisneros.

Ciclo : IX Aula : A3-7

TEOREMA 2.3.c

Si a < b  b < c  a < c

Demostración:

a < b   p ∈ ℕ, p ≠ 0 / a+p = b ……………… teorema 2.1

b < c   q ∈ ℕ, q ≠ 0 / b+q = c ……………… teorema 2.1

como

a + p = b

a +p +c = b +c ………………………………lema 1.1

a +p +b +q = b + c …………………………… P.S ( c = b + q )

a +p +q +b = c + b …………………………… Conmutativa ℕ ( n2 )

a +p +q = c ……………………………… Cancelativa ℕ ( n8 )

a + r = c …………………………………….. ( p +q = r / r ∈ ℕ, r ≠ 0 )

 a < c …………………………………….. Por T. 2.1  r ∈ ℕ, r ≠ 0 / a+r = c

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