Numeros Naturales

Números Naturales

Son todos aquellos números enteros naturalmente positivos.

Características de los Números Naturales

• Los números naturales son infinitos.

• El conjunto de todos ellos se designa por N.

• Los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto.

• Tiene primer elemento, No tiene último elemento.

• Todo número natural tiene un sucesor.

• Un número natural y su sucesor son consecutivos.

• Entre dos naturales existe siempre un número finito de naturales.

• Las operaciones posibles con los naturales son: Suma, multiplicación, La resta no es siempre posible en el campo de los números naturales.

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Propiedades de la Adición de Números Naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

Asociativa.

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)

Conmutativa.

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

Elemento neutro.

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

Asociativa.

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a • b) • c = a • (b • c)

Por ejemplo:

(3 • 5) • 2 = 15 • 2 = 30

3 • (5 • 2) = 3 • 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir, (3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)

Conmutativa.

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a • b = b • a

Por ejemplo:

5 • 8 = 8 • 5 = 40

Elemento neutro.

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a • 1 = a

Distributiva del producto respecto de la suma.

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a • (b + c) = a • b + a • c

Por ejemplo:

5 • (3 + 8) = 5 • 11 = 55

5 • 3 + 5 • 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir, 5 • (3 + 8) = 5 • 3 + 5 • 8

Propiedades de la Sustracción de Números Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿Cuantas ovejas tenemos? Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Propiedades de la División de Números Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

Números Racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo.

Características de los Números Racionales

• La clase de los números racionales se identificará con el signo Q.

• Los miembros de esta clase se escriben como números quebrados, de la forma a/b, en donde a y b son cualesquiera números enteros.

• El conjunto que agrupa a estos números se llamará conjunto de números racionales.

• Los elementos del conjunto de números racionales están ordenados, en el sentido de que si a/b y c/d son dos racionales, y si a/b ¹ c/d, entonces debe cumplirse que a/b < c/d, o que a/b > c/d.

• Dos números racionales cualesquiera, a/b y c/d, en los que se cumple que a/b < c/d, constituyen en sí mismos un conjunto especial llamado intervalo cerrado, el cual tiene la propiedad de densidad. Dicha propiedad establece que entre dos números racionales así definidos puede establecerse una infinidad de números racionales de la forma m/n, tales que para cualquiera de ellos se podrá establecer que a/b £ m/n £ c/d.

• En un intervalo cerrado cualquiera de números racionales puede establecerse un primer y un último elemento, pero la cantidad de números definibles entre estos dos no podrá contarse. Dicho intervalo se definirá en forma extensiva así I = {a/b,..., c/d}, donde a/b y c/d serán el primer y el último elemento respectivamente.

• El conjunto de números racionales no tiene un primer elemento que pueda llamarse el menor, ni un último elemento que pueda llamarse el mayor, por lo que será un conjunto infinito. Tal clase de elementos primero y último no pueden definirse.

• El conjunto de números racionales y cualquier intervalo cerrado definido entre dos de sus elementos compartirán la característica de no poder enumerarse, o de poder indicarse cuantos elementos tienen, pero no la característica de no tener mayor y menor elemento. De alguna manera, se puede hacer que un intervalo cualquiera de números racionales se parezca al mismo conjunto de racionales, pero sin llegar a ser igual a éste. Los números racionales manifiestan la tendencia

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