Números Naturales.

NUMEROS NATURALES.

El conjunto de los números naturales se representa por IN y corresponde al siguiente conjunto numérico:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ........}

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a IN.

• Ejemplo: 2 + 6 = 8, el 8 pertenece a IN  5 • 3 = 15, el 15 pertenece a IN.

No ocurre lo mismo con las operaciones inversas, o sea, la sustracción y la división. Ellas no son operaciones cerradas en IN.

• Ejemplo: 3 - 5 = -2, y -2 no es un elemento de IN  1: 4 = 0,25; y 0,25 no es un elemento de IN.

Propiedades para la adición.

• Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN … Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9.

• Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN … Verifiquemos que (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolvamos los paréntesis: (7) + 6 = 5 + (8)  13 = 13

Propiedades para la multiplicación:

• Conmutatividad: a • b = b• a, con a y b pertenecientes a IN … Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 • 6 = 18, es lo mismo que 6 • 3 = 18.

• Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN … Verifiquemos que (5 • 2) • 6 = 5 • (2 • 6). Resolvamos los paréntesis: 10 • 6 = 5 • 12  60 = 60

• Elemento Neutro: a • 1 = a... Todo nro IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento ... 5• 1 = 5  9• 1 = 9.

• Distributividad: a• (b + c) = a• b + a• c ... Verifiquemos que: 5• (3 + 6) = 5• 3 + 5• 6  5•9 = 15 + 30  45 = 45

Ejercicios.

SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL.

Anotemos una escala que sirve para representar lo fundamental del sistema de numeración decimal.

100.000.000

cM 10.000.000

Centena de Millón dM 1.000.000

Decena de Millón uM 100.000

Unidad de Millón cm 10.000

Centena de Mil dm 1.000

Decena de Mil um 100

Unidad de Mil c 10

Centena d 1

Decena (u) Unidad

Ejemplo: Analicemos el orden de unidades y el valor posicional del número 7385.

• 7: Su orden es unidades de mil y su valor de posición 7.000

• 3: Su orden es centenas y su valor de posición 300.

• 8: Su orden es decenas y su valor de posición 80.

• 5: Su orden es unidades y su valor de posición 5 ... O sea 7385 = 7.000 + 300 + 80 + 5.

CUADRADOS Y CUBOS DE UN NÚMERO.

El producto 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 resulta 64 ... Y el de 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 es 65.536 ... Quizás no resulte muy difícil el obtener estos resultados, pero sí es tedioso escribir toda la operación. Para eso se creó una simbología que permite trabajar en forma más cómoda y rápida. Veámosla.

2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = donde el 2 recibe el nombre de base y 6 de exponente y se lee "2 elevado a 6".

4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 =  La base es 4 y el exponente 8 y se lee "4 elevado a 8".

Cuando utilizamos el exponente 2, por ejemplo , aparte de leerlo como "siete elevado a 2", es más común leerlo como "7 al cuadrado" o "el cuadrado de siete"

Cuando utilizamos el exponente 3, por ejemplo , aparte de leerlo como "cuatro elevado a 3", es más común leerlo como "4 al cubo" o "el cubo de cuatro"

Ejercicios.

Resolver:

ORDEN DE OPERACION.

Dado el ejercicio 2 + 3 • 4, a varios alumnos para resolver, y obtuviésemos de ellos dos resultados distintos, no nos cabría duda de que no todos dominan el orden de operatoria, fundamental para un buen desarrollo de cualquier ejercicio de matemática.

Para aclararlo de inmediato es bueno decir que el resultado correcto del ejercicio dado es 14.

El orden para operar es el siguiente:

• Paréntesis.

• Multiplicaciones y Divisiones.

• Sumas y Restas.

Ejemplo: Resolvamos la operación 4 + 3• (9 - 2)  Primero resolvemos la operación que está en el paréntesis y queda  4 + 3• 7  Luego, la multiplicación, obteniéndose 4 + 21  Finalmente la suma  Siendo el resultado final 25.

Ejercicios.

FACTORES PRIMOS DE UN NÚMERO.

Todos los números naturales se pueden descomponer en una factorización única de números primos.

Ejemplo: Encontremos los factores primos de 48.

48 : 2

24 : 2

12 : 2

6 : 2

3 : 3

1

Luego 48 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 =  También se puede utilizar un diagrama de árbol  Utilicemos este método para obtener los factores primos de 8 ... Por lo tanto  8 = 2 x 2 x 2 =

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m)

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos que es común a cada una de estas cantidades. Calculemos por medio de una tabla, donde vamos dividiendo por los números primos. Cuando el número no sea divisible se conservará.

Ejemplos: Determinemos el m.c.m. de 12 y 18.

12 18 : 2

6 9 : 2

3 9 : 3

1 3 : 3

1

El m.c.m. entre 12 y 18 es 2 • 2 • 3 • 3 = = 36

Obtengamos ahora el m.c.m entre 8, 12, y 15

8 12 15 : 2

4 6 15 : 2

2 3 15 : 2

1 3 15 : 3

1 5 : 5

1

El m.c.m. es 2 • 2 • 2 • 3 • 5 = 120.

Otro método para obtenerlo es determinando los múltiplos de cada número y después ver los que son comunes y elegir el menor.

• Múltiplos de 12  {12, 24, 36, 48 ...}

• Múltiplos de 18  {18, 36, 54, ...}

El menor múltiplo común de 12 y 18 es 36.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m. c. d.)

El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el número mayor que los divide. Se calcula obteniendo los divisores de cada uno de los números y luego, de los divisores comunes, se elige el mayor de ellos.

Ejemplos: Obtengamos el m.c.d entre 12 y 18.

• Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

• Divisores de 18

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