Trabajo de Aalisis Numerico Problemas y Teoria

UNAC

FIIS

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TRABAJO DE ANÁLISIS NUMÉRICO

AUTOR: Anthony José Castro Ráez

CODIGO: 13152100176

VERSIÓN 1.0

Contenido                                                                                           pág.

INTRODUCCIÓN        

CAPÍTULO I: Las ecuaciones no lineales        

LOS MÉTODOS CERRADOS        

EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN        

CUADRO DE RESULTADOS DEL MÉTODO DE BISECCIÓN        

MÉTODO DE LA REGLA FALSA        

LOS MÉTODOS ABIERTOS        

EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON        

MÉTODO DE LA SECANTE        

BIBLIOGRAFÍA        

ANEXOS        

PROBLEMA PROPUESTO NUMERO 1        

PROBLEMA PROPUESTO NUMERO 2        

PROBLEMA PROPUESTO NUMERO 3        

PROBLEMA PROPUESTO NUMERO 4        

PROBLEMA PROPUESTO NUMERO 5        

INTRODUCCIÓN

Este trabajo tiene como fin dar a conocer de qué trata el curso de análisis numérico, aprenderemos como realizar los diversos tipos de algoritmos en el software Matlab a través de reglas para la realización y resolución de nuestros problemas.

Seguidamente veremos los métodos que resolverlos, el primer capítulo trata de los métodos cerrados los cuales analizaremos a continuación.

CAPÍTULO I: Las ecuaciones no lineales

Se llama ecuaciones no lineales a las ecuaciones que presentan la siguiente forma f(x)=0 donde f es una función real de variable real.

Las ecuaciones de este tipo (no lineales) son las ecuaciones que no son de primer grado, ya que las ecuaciones de primer grado son siempre una línea recta, estas ecuaciones pueden ser de segundo, tercer, cuarto grado y así sucesivamente, pueden formar parábolas o hipérbolas.

Para llegar a resolver este tipo de ecuaciones tenemos para escoger dos tipos de métodos: los métodos cerrados y los métodos abiertos.

LOS MÉTODOS CERRADOS 

Estos métodos consisten en agarrar un intervalo cerrado, cerca de nuestra posible raíz e ir reduciéndolo hasta que el error que obtengamos sea mínimo pero extremadamente mínimo y podamos obtener una raíz casi exacta.

Entre estos métodos tenemos los siguientes:

1. Método de la bisección.
2. Método de la regla falsa.

EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

1. De qué trata este método:

El método de la bisección (bisección: partir, cortar, en dos partes iguales, equivalentes una cierta medida) consiste en dividir a la mitad el intervalo dado tanta veces como nos sea necesario para lograr acercarnos lo máximo a nuestra raíz y así obtener nuestra tan ansiada solución.

Para demostrar que existe una solución en el intervalos que escogimos tenemos que el resultado de la ecuación evaluada en el límite inferior del intervalo multiplicarlo por el resultado de la misma ecuación pero ahora evaluada en el límite superior del intervalo F(a)*F(b) si el resultado resulta ser un numero negativo o sea menor a 0  F(a)*F(b)<0 estoy significaría que si existe una raíz en el intervalo [a, b], en caso contrario el resultado sea diferente se dirá que no existe raíz.

Luego de haber realizado la comprobación de si existe o no raíz en nuestro intervalo y en el caso si exista se procede a partir a la mitad nuestro intervalo tomando el valor central que en este particular caso lo llamaremos C, esto nos dará como resultado dos intervalos [a,c] y [c,b], para darnos cuenta con que intervalo seguiremos trabajando tenemos que realizar la operación que realizamos primero para ver si existía raíz, pero en este caso tendremos que realizarla con nuestro dos intervalos obtenidos para ver en cuál de ellos se encuentra nuestra preciada raíz y seguir trabajando con él, primero revisaremos nuestro primer intervalo [a,c], si F(a)*F(c) resulta ser menor a 0 nuestro valor C pasaría a ser nuestro nuevo B, en el caso que el resultado no sea negativo pasaremos a analizar nuestro segundo intervalo [c,b], si F(c)*F(b) resulta ser menor a 0 nuestro valor C pasaría a ser nuestro nuevo A, seguido de esto a nuestra R (que sería nuestra raíz tentativa) le asignaremos el antiguo valor de C.

Ahora que nuestro intervalo se a echo más pequeño realizaremos los pasos anteriores una y otra vez pero en cada repetición que hagamos tenemos que calcular nuestro porcentaje de error, y lo calculamos con la siguiente formula:

Error=|(c-r)/c| *100

Algunas cosas que debemos conocer del método:

• r es el valor que tomo C en la iteración anterior.
• c es el valor de la mitad de nuestro intervalo.
• Las repeticiones se seguirán haciendo hasta tener un error por debajo del 1%
• El software Geogebra nos ayudara con la toma de los intervalos.

1. Ejemplo: x3 - 7x2 + 14x - 6

b.1) Solución Gráfica:[pic 2]

Fig.01 Solución Gráfica[pic 3]

Solución  r =0.59

Fig.02 Solución Gráfica

Solución r=0.59

b.2) SOLUCIÓN ANALÍTICA:

Según la Fig.01 - pág.6 tomaremos un intervalo [0.2, 1]

          Primero analizaremos si existe raíz:

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