Tranformacion Lineal

(v1 + v2 ) = T (x + p, y + q) = ((x + p) + (y + q), y + q, (x + p) − (y + q)) = ((x + y) + (p + q), y + q, (x − y) + (p − q)) = (x + y, y, x − y) + (p + q, q, p − q) = T (x, y) + T (p, q) = T (v1 ) + T (v2 ) b) Sean v = (x, y) ∈ R2 , k ∈ R, entonces: T (kv) = T (kx, ky) = (kx + ky, ky, kx − ky) = k(x + y, y, x − y) = kT (x, y) = k(T v) as´ T es una transformaci´n lineal. ı, o o Ejemplo 13.1.2. Verifique si la transformaci´n T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (x + y, x − y + 2, y), es una transformaci´n lineal. o Soluci´n. Claramente T no es transformaci´n lineal ya que T (0, 0) = (0, 2, 0) = (0, 0, 0). o o Ejemplo 13.1.3. Compruebe que la transformaci´n T : M (n, R) → M (n, R) tal que o T (A) = M A + AM donde M es una matriz fija en M (n, R), es una transformaci´n lineal. o Soluci´n. o a) Sean A, B ∈ M (n, R) entonces T (A + B) = M (A + B) + (A + B)M = (M A + M B) + (AM + BM ) = (M A + AM ) + (M B + BM ) = T (A) + T (B) b) Sea A ∈ M (n, R), k ∈ R entonces T (KA) = M (kA) + (kA)M = kM A + kAM = k(M A + AM ) = kT (A) Por a) y b), T es una transformaci´n lineal. o

CAP´ ITULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES

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13.2.

´ ´ DETERMINACION DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Para describir una transformaci´n o funci´n arbitraria se debe especificar su valor o o en cada elemento de su dominio, sin embargo, para una transformaci´n lineal basta con o conocer los valores sobre una base del espacio dominio. Teorema 13.2.1. Sea {v1 , v2 , . . . , vn } una base del espacio vectorial VK y WK otro espacio vectorial tal que {w1 , w2 , . . . , wn } ⊆ W entonces, existe una unica transformaci´n lineal ´ o T : V → W donde T (v1 ) = wi , i = 1, 2, . . . , n. o Demostraci´n. Encontremos una transformaci´n lineal con las propiedades. o Si v ∈ V entonces v = a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn , con ai las componentes de v en la base {v1 , v2 , . . . , vn }. Definamos entonces T : V → W por T (v) = a1 w1 + a2 w2

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Suscríbase

+ · · · + an wn . Claramente T es una transformaci´n ya que existe un unico elemento en W correspono ´ diente a cada elemento de V . Veamos que T es una transformaci´n lineal. o Consideremos otro vector w ∈ V tal que w1 = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn entonces v + w = (a1 + c1 )v1 + (a2 + c2 )v2 + · · · + (an + cn )vn , luego T (v + w) = (a1 + c1 )w1 + (a2 + c2 )w2 + · · · + (an + cn )wn = a1 w1 + a2 w2 + · · · + an wn + c1 w1 + c2 w2 + · · · + cn wn = T (v) + T (v1 ). Adem´s, T (kv) = ka1 w1 + ka2 w2 + · · · + kan wn = kT (v). a Veamos ahora la unicidad de la transformaci´n. o Sea S : V → W otra transformaci´n lineal tal que S(vi ) = wi , i = 1, 2, . . . , n, entonces o S(v) = S(a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn ) = a1 w1 + a2 w2 + · · · + an wn = T (v) as´ S = T . ı, Observaci´n 13.2.1. El conjunto {w1 , w2 , . . . , wn } es

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