Transferencia De Calor

Métodos lineales a un paso

Son métodos numéricos que para avanzar un paso, sólo dependen del paso anterior, es decir el paso n+1 solo depende del paso n o, con mas precisión, son métodos de la forma

xn+1 = xn + F(xn, tn, h)

x0 = x(0)

donde xn is a Rn vector, tn es la variable independiente, h el tamaño del paso, y F es una función vectorial (posiblemente no lineal) xn, tn, h, ie

F : Rn+2 → Rn

Nótese que lo que tenemos es en realidad un sistema de n equaciones.

Existen otros métodos llamados multipaso, en los que para avanzar un paso se requiere una función de dos o más pasos anteriores, así como existen métodos no lineales, no trataremos de ellos aquí.

Teoría en extensión

Los métodos de Runge-Kutta son una especialización de los métodos numéricos a un paso. Fundamentalmente, lo que caracteriza al los métodos de Runge-Kutta es que el error en cada paso i es de la forma

Ei = Chk

Siendo C una constante real positiva, al número k se le llama orden del método y h ya sabemos que es el tamño del paso en cada nodo.

En los métodos de Runge-Kutta se llama etapas a las sucesivas evaluaciones de la función f en cada paso. El número de etapas de un método de Runge-Kutta es el número de veces que la función es evaluada en cada paso i, Este concepto es importante porque evaluar la función requiere un coste computacional (a veces alto) por tanto se prefieren métodos con el menor número posible de etapas.

Un primer ejemplo es el método de Euler que es de la forma

El método de Euler (Runge-Kutta de orden 1)

xn+1 = xn + h f(xn, tn)

En dicho método el error es de la forma e ≤ Ch y por tanto el método de Euler es de orden 1

Observacion: La función se evalúa 1 vez en cada paso, número de etapas: 1.

Un ejemplo de un método de orden 2 es el método del punto medio o tambien regla del punto medio, que es de la forma

El método del punto medio (Runge-Kutta de orden 2)

xn+1 = xn + h f ( xn + h/2 f (xn, tn), tn + h/2)

En dicho método el error es de la forma e ≤ Ch2 y por tanto el método del punto medio es de orden 2

Observacion: El número de veces que se evalúa la función en cada paso del método es 2, número de etapas: 2.

Runge-kutta estándar de orden 4 (Runge-Kutta de orden 4)

xn+1 = xn + h/6 (k1 +2 k2 +2 k3 + k4)

donde

k1 = f(xn, tn)

k2 = f(xn + hk1/2, tn + h/2)

k3 = f(xn + hk2/2, tn + h/2)

k4 = f(xn + hk3, tn + h)

Ahora el error es de la forma e ≤ Ch4 y por tanto el método es de orden 4

Observacion: El número de veces que se evalúa la función en cada paso del método es 4, número de etapas: 4.

Gráficas del error para estos métodos

Gráfica en escala Logarítmica error frente al tamaño de paso de los 3 métodos que veremos aquí:

- En rojo el método de Euler

- En verde el método del Punto medio de orden 2

- En negro el R/k Clásico de orden 4

Observese la diferencia de pendiente, que aumenta en función del orden del método.

Podemos adoptar la siguiente definición como métodos Runge-Kutta:

Un método Runge-Kutta de s etapas y de orden p es un método numérico de la forma:

xn+1 = xn + h(∑si=1 biki) Con

ki = f( xn + ∑sj=1aijkk, tn + hci)

Y el error cumple la condición

Max | X( tt) - xi| ≤ Ch tp

Es decir para dar un método de Runge-Kutta, tenemos que dar los números

bi, ci,aij,

Es decir s2 + 2s números

Una particularidad interesante de los métodos Runge-Kutta es que no necesitan calcular derivadas de la función f para avanzar. El precio a pagar por ello es el de evaluar más veces la propia función f con el consiguiente coste de operaciones.

Teorema de Convergencia

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