Tricotomia

PROPIEDADES DE TRICOTOMIA, TRANSITIVIDAD, DENSIDAD Y AXIOMA DE LOS NUMEROS REALES

la propiedad de tricotomia es la que garantiza tres posibilidades dentro de los numeros reales

a<b o b<a o a=b

Propiedad de tricotomía de números reales

La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad:

a<b, a=b, a>b.

Para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es tricótoma si para todo el x y y en A exactamente una de

xRy, x=y, yRx

asimientos.

Una relación tricótoma no es simétrica, no es reflexivo, sino es transitiva.

Propiedads de relaciones tricótomas

Propiedad Ecuación Descripción

Propiedad simétrica xRx es siempre falso. Una relación tricótoma no es simétrica. Por ejemplo, la declaración 3<3 es siempre falso.

Propiedad reflexiva Si xRy entonces no yRx Una relación tricótoma no es reflexiva. Por ejemplo, 3<4 ⇒ 4≮3.

Propiedad transitiva Si xRy y xRz entonces xRz Una relación tricótoma es típicamente transitiva. Por ejemplo, 3<4, 4<5 ⇒ 3<5.

Cuadro 1

transitividad

la transitividad nos dice que siendo a,b,c numeros reales, si a=b y b=c entonces a=c asi mismo se garantiza para los axiomas de orden siendo a,b,c numeros reales se tiene que si a<b y b<c entonces a<c

los axiomas de los numeros relaes son prepociciones que se toman como verdaderas y son las siguientes:

Axioma 1 Cerradura

Si a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única que están también en R.

Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación)

Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a.

Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación)

Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*c

Axioma 4 Propiedad Distributiva.

Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac

Axioma 5 Existencia de Elementos neutros.

R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los reales.

Axioma 6 Elementos inversos Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1.

[+ El inverso multimplicativo de a también se representa por {$ a^{−1} $}

El primer axioma garantiza que la suma y la multiplicación son operaciones binarias en los números reales. Los axiomas 2 al 4 indican la forma de manipular algebraicamente las dos operaciones. El axioma 5 establece la existencia de dos elementos distintos 0 y 1. Y el último axioma indica la existencia de los elementos inverso por lo que los números reales forman un campo, nótese que en la segunda parte de este último axioma se supone diferente de cero el número a.

También es fácil ver que combinando el axioma 2 con los axiomas 5 y 6 tenemos:

0 + a = 0

1.a = a

(-a) + a = 0

(1/a)*a = 1

Números Racionales

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números reales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.

Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.

Definición de números racionales

Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.

Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.

Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra Q, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números Q.

Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son:

Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.

Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas.

A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…

Propiedades de los números racionales

Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:

Entre las propiedades de la suma y resta están:

Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo necesitara.

Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa

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