Matematicas Ley De Tricotomía

Ley de tricotomía

En matemáticas, la ley de tricotomía es una propiedad de algunos conjuntos ordenados, por la cual todos sus elementos son comparables entre sí.

[editar]Enunciado

Sea un conjunto X parcialmente ordenado por la relación ≤, y sea < la relación de orden estricta asociada.

En X se cumple la ley de tricotomía si para cada par de elementos x e y, se tiene una sola de las siguientes relaciones:

 x < y

 y < x

 x = y

La ley de tricotomía es equivalente a que la relación de orden ≤ sea total, esto es, que dados dos elementos x e y se tenga x ≤ y o y ≤ x (o ambos). Las relaciones de orden de losnúmeros naturales, enteros, racionales y reales cumplen la ley de tricotomía (son órdenes totales). Sin embargo, la relación de inclusión ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado no la cumple: puede haber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es subconjunto del otro.

La ley de trocotomía y surge cuando se induce un orden en un conjunto como los Enteros (Z), o los números reales (R). Estas leyes dicen que.

Sin perdida de generalidad, puedes suponer que a,b son numeros reales.

Si a != b (a es distinto de b) entonces solo puede ocurrir una de estas 3 afirmaciones:

a < b (a es menor que b)

ó

a = b (a es igual con b)

ó

a > b (Relación transitiva

Ejemplo: Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.

Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

[editar]Ejemplos

Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación binaria "menor o igual que" vemos que es transitiva:

Así, puesto que:

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.

Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:

Para todo valor a, b, c numero natural: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c

Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).

Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces

Se cumple y pero no se cumple puesto que X es subconjunto de Z.

Otro ejemplo de relación binaria que

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