Tricotomia

TEOREMA:

Se llama Teorema a una proposición que debe ser demostrada por medio de axiomas. Son los resultados más importantes de la geometría; algunos son tan importantes que los conocemos por su nombre propio.

Consta de 2 partes:

* La hipótesis: Es lo que damos por cierto

* La conclusión o tesis: Es lo que deducimos de la hipótesis y que deberá ser comprobada.

Ejemplo:

“Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. La hipótesis es que os ángulos opuestos por el vértice son congruentes y la tesis es que son iguales”

AXIOMA:

Se llama axioma o postulado a una proposición que se considera verdadera y que sirve como punto de partida para desarrollar una ciencia o teoría.

Ejemplos:

* El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

* Dos cantidades iguales a una 3era, son iguales entre sí.

* Por dos puntos distintos pasa una y solo una recta.

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

MATEMÁTICAS II

NUMERO REAL.

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4.28; 289.6; 39985.4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Es importante tener en cuenta que los números reales permiten completar cualquier tipo de operación básica con dos excepciones: las raíces de orden par de los números negativos no son números reales (aquí aparece la noción de número complejo) y no existe la división entre cero (no es posible dividir algo entre nada).

Números naturales

Al conjunto numérico que ocupamos en la vida como son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,….. Le llamamos conjunto de los números naturales (N), generalmente se identifican como:

N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,….}

Características:

-es infinito.

-es ordenado.

-todo numero natural tiene un sucesor.

Números racionales.

Cuando a la unidad la podemos dividir en pequeñas partes (fracciones). Este tipo de números merecen su agrupación en otro conjunto numérico llamado Números racionales (Q).

Un racional es un numero de la forma a/b, con a, b €N, b ≠ 0. Donde a: numerador y b: denominador. Además se puede expresar de 2 formas:

Finito

Decimal Infinito: periódico

Racional

Fracción

Haciendo matemáticas

Algebra I

Edgar Alfonso Orozco Mendoza

Números irracionales

El número que se pueden representar por expansiones decimales infinitos no periódicos reciben el nombre de números irracionales.

El conjunto cuyos elementos son el número irracional, recibe el nombre de conjunto de los números irracionales y se denota con el símbolo II.

Observación: Por la definición de número racional y la de número irracional se tiene que no existen números que sean racionales e irracionales a la vez, simbólicamente esto se indica de la siguiente manera:

Q \ I = Â

El Conjunto de los números Reales

M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S.

Números conmensurables

Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, e inconmensurables aquellas de las que no es posible hallar una medida común.

La idea central del concepto conmensurabilidad no sólo es la posibilidad de comparación, sino la existencia de un factor común que pueda ser expresado.

los segmentos, y , son llamados conmensurables precisamente si hay un tercer segmento, , que puede ser usado una cantidad de veces entera para producir un segmento congruente a a, y otra cantidad de veces también entera para producir un segmento congruente a b.

Números Inconmensurables

Inconmensurabilidad es el opuesto a la conmensuralidad. Indica que dos magnitudes no se pueden comparar

Ejemplo de la diagonal de un cuadrado

El ejemplo más conocido de la inconmensurabilidad es el de la razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un lado.

La razón de la diagonal   de un cuadrado y su lado   es inconmensurable (es irracional).

La demostración de que   no es racional se puede hacer de manera indirecta, considerando lo contrario. Se busca llegar a una contradicción. Si se llega a una contradicción, lo contrario no es cierto, y se establecería lo que se desea. En términos lógicos: si queremos demostrar la proposición J, analizamos qué ocurriría si "no J" fuese correcta. Mediante deducciones lógicas a partir de "no J" llegamos a una contradicción. Entonces se concluye que "no J" es falsa y, por lo tanto, J debe ser verdadera. Este método se llama también reducción al absurdo.

Supongamos que   (la razón de la diagonal   y el lado ) es conmensurable.

Donde   y   son conmensurables (enteros) y no tienen factores en común (primos relativos). Por el teorema de Pitágoras se debe:

Entonces, por la hipótesis y la ecuación anterior:

Esto significa que   es par, por lo que   también es par.   No puede ser par porque si   y   fueran pares, tendrían un factor común (lo que se especuló no era el caso). Entonces   es impar. Por ser par,   (siendo   un entero) y sustituyendo en la ecuación.

 Es, por ende, par. Pero   no puede ser par e impar simultáneamente. Como consecuencia, la hipótesis de que   es conmensurable es contradictoria.   Es inconmensurable.

DESIGUALDADES

Una desigualdad matemática es una expresión matemática en la que ambos miembros no son equivalentes entre sí (lo contrario a lo que ocurre en una igualdad.

TEOREMAS

Teorema 1: propiedad transitiva

(A, b, c,) є R

Si a > b y b > c entonces a > c

Teorema 2: Suma

(A, b, c,) є R

Si a > b, entonces a + c > b + c

Teorema 3: Multiplicación por un número positivo

Si a > b y c > 0, entonces ac > bc

Teorema 4:

(a, b, c, d) є R

Si a > b y c > d entonces

(a + c) > (b + d)

Teorema 5:

a ir

a > 0 si, y solamente si, -a <>

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