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Un ejemplo sobre Multiplicadores de Lagrangre


Enviado por   •  8 de Mayo de 2023  •  Tarea  •  487 Palabras (2 Páginas)  •  43 Visitas

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Un ejemplo sobre Multiplicadores de Lagrangre

Ejemplo: Maximizar el Volumen v = xyz de un parque rectangular con madera al a´ıre libre ( sin el  techo ), donde la longitud es x, ancho y  y altura de z. Adem´as se sabe que el costo para la pared xz es de 4$ el metro cuadrado, el costo para la pared yz es de 7$ el metro cuadrado y el costo de la madera del piso ( base ) xy es de 5$. Y se tiene que el l´ımite de gasto es de 10500$.

Soluci´on: Tenemos

V

=

=

xyz + λ[2(4xz) + 2(7yz) + 5xy 10500]

xyz + λ[8xz + 14yz + 5xy 10500].

Entonces se tiene

Vx

=

yz + 8λz + 5λy = 0

(1)

Vy

=

xz + 14λz + 5λx = 0

(2)

Vz

=

xy + 8λx + 14λy = 0

(3)

Vλ

=

8xz + 14yz + 5xy 10500 = 0.

(4)

Resolviendo (1), (2) y (3) para 1/λ,

1        8z + 5y        8        5

yz = λ(8z + 5y)   ⇒  − λ =[pic 1]


=        +        (5)

yz        y        z[pic 2][pic 3][pic 4]

1        14z + 5x        14        5

xz = λ(14z + 5x)   ⇒  − λ =[pic 5]


=        +        (6)

xz        x        z[pic 6][pic 7][pic 8]

1        8x + 14y        8        14

xy = λ(8x + 14y)   ⇒  − λ =[pic 9]

Igualando (5) con (6) para eliminar 5/z :


=        +

xy        y[pic 10][pic 11]


.        (7)

x[pic 12]

8

=[pic 13]

y

Igualando (6) con (7) para eliminar 14/x :

5[pic 14][pic 15]


14

x x = 1,75y.[pic 16]

8

Sustituyendo en (4) se tiene

...

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