Un esbozo de qué es el Cálculo: paradojas y principales problemas planteados.

INSTITUTO TECNOLOGICO DE COMITAN.

ANTOLOGIA:

 CALCULO DIFERENCIAL

MODALIDA VIRTUAL

ASESOR:

ING. RENE PEREZ RUIZ

Un esbozo de qué es el Cálculo: paradojas y principales problemas planteados.

Los orígenes del Cálculo se remontan al siglo III a. C., cuando los griegos intentaban resolver el problema del cálculo de áreas usando el método exhaustivo (inventado por Eudoxo), en el que se aproxima el área de la región que se desea conocer mediante áreas de regiones poligonales inscritas en ella cada vez más precisas. Con este método, Arquímedes (287-212 a. C.) determinó la fórmula exacta del área del círculo y de otras figuras.

La sustitución de los números romanos por los caracteres arábigos, aparición de los signos + y 􀀀, el importante desarrollo de las notaciones matemáticas que empezó en el siglo XVI d. C., la notación decimal y los resultados sobre soluciones algebraicas de las ecuaciones cúbica y cuártica estimularon el desarrollo de la Matemática y, en particular, de los símbolos algebraicos que permitieron retomar el interés por el método exhaustivo, que se transformó en lo que hoy se conoce como cálculo integral.

Sin embargo, el mayor impulso de esta rama de las Matemáticas se dió en el siglo XVII gracias a Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), y continuó su desarrollo hasta que Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) le dieron una base matemática firme.

Los aspectos fundamentales (o piedras angulares) que sustentan el Cálculo son el concepto

de derivada y el concepto de integral. Ambos se apoyan en una herramienta fundamental

que es el límite. Observemos que: El límite permite estudiar la tendencia de una función cuando su variable se aproxima a un cierto valor.

La derivada permite calcular tasas de variación y pendientes de las tangentes a las curvas, definiéndose pues como un límite.

La integral se introduce como límite de una suma “especial” y permite calcular áreas, volúmenes, longitudes de curva, etc.

UNIDAD I

1. LA RECTA NUMERICA.

DEFINICION: Es una sucesión infinita de puntos, situados en un mismo punto. Una recta tiene una sola dimensión: LA LONGITUD.[pic 2]

Características de una recta:

1.- Se representa por dos puntos o por una letra minúscula.

2.- Una recta indica una dirección y dos sentidos.

Clases de rectas:

1. SECANTE.

[pic 3]

        Secante (latín=cortar) se cortan en n punto[pic 4][pic 5]

[pic 6][pic 7]

[pic 8]

2. PARALELAS. Son aquellas que se proyectan y nunca hay un punto donde se corte.

[pic 9][pic 10]

[pic 11][pic 12][pic 13]

[pic 14]

Paralelas Verticales.             Paralelas Horizontales.                            Paralelas Inclinadas.

1. LOS NUMEROS REALES.

LOS NUMEROS RACIONALES.

También conocidos como: FRACCIONES O QUEBRADOS, los números racionales se obtienen apartir de los números enteros, añadiendo sus inversos para la multiplicación y de ahí surgen las expresiones decimales exactas y periódicas. Se representa con la letra “Q”.

EJEMPLOS:   [pic 15]

     Q={1/2, 5/3, 417/512, 1/3}[pic 16][pic 17]

EXPRESION DECIMAL                EXPRESION DECIMAL

      EXACTA.                                           PERIODICA.

LOS NUMEROS IRRACIONALES.

SON AQUELLOS QUE NO PUEDEN EXPRESARSE COMO NUMEROS ENTEROS O FRACCIONARIOS. SE REPRESENTA CON LA LETRA “I”.

EJEMPLOS:  

     I={ π(constante pi, valor=3.141562), ℮(logaritmo natural o neperiano=2.718)}.

POR LO TANTO LOS NUMEROS REALES: ES LA UNION DE LOS NUMEROS RACIONALES E IRRACIONALES Y SE PUEDEN REPRESENTAR GRAFICAMENTE EL CONJUNTO DE LOS REALES CON UNA RECTA, EN LA QUE CADA PUNTO REPRESENTA UN NUMERO.

1. PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES.

1. TRICOTOMIA: Indica que para cualquier análisis de dos números reales a y b, uno de los siguientes es verdad: ab.

1. TRANSITIVIDAD: Siendo a,b,c son números reales, si a=b y b=c, entonces a=c, así mismo, a

1. DENSIDAD: Esta propiedad nos dice que dado dos números, siempre podemos encontrar otro que este entre los 2 o, equivalente, que podamos tener siempre un numero tan cercano como queramos a otro.

1. AXIOMA DEL SUPREMO: Este axioma nos garantiza que los números reales llenan toda la recta. No obstante entre cada dos números racionales existe una infinidad de ellos, con este axioma es posible atribuir a los números reales la propiedad de: CONTINUIDAD, es decir de poder establecer una correspondencia BIUNIVOCA.

1. INTERVALOS Y SU REPRESENTACION MEDIANTE DESIGUALDADES.

INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales.

Se dice que un intervalo es abierto: Cuando los números no pertenecen al intervalo. Y se representan por los (   ).

Se dice que un intérvalo es cerrado: Cuando los números pertenecen al intervalo y se representa por [   ].

Si uno de los extremos del intervalo pertenece al conjunto y el otro no, se dice que es semiabierto o semicerrado.

CLASES DE INTERVALOS.