Una solución de la 2da práctica calificada de cálculo para ciencias

Universidad Nacional Agraria La Molina        CICLO: 2022- II

Facultad de Ciencias        GRUPO: C

Departamento Académico de Matemática        Presencial

UNA SOLUCIÓN DE LA 2da PRÁCTICA CALIFICADA DE CÁLCULO PARA CIENCIAS

1. Dada las funciones 𝑓 y 𝑔

2𝑥2 + 4[pic 1]

𝑓(𝑥) =

𝑥 + 2

,   𝑥 ∈ [−1,2] ;        𝑔(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑎𝑥 + 8𝑙𝑛2,   𝑥 ∈ [0,2]

Utilizando el teorema del valor medio de la integral definida, calcule:

1. El valor de "𝑎", de tal manera que ambas funciones tengan el mismo valor medio en sus dominios correspondientes.        (3 puntos)

1. El (Los) valor(es) de 𝑐 para la función 𝑔 que satisfacen dicho teorema.        (1 punto)

Solución.

Usando el teorema del valor medio, se tiene

𝑓(𝑐1) = 𝑓̅ =

1        2

∫  ([pic 2]

3 −1

2𝑥2 + 4

𝑥 + 2[pic 3]

) 𝑑𝑥 =

1        2

[(𝑥 − 2)2 + 12 ln(𝑥 + 2)]|[pic 4]

3        −1

= 8𝑙𝑛2 − 3

𝑔(𝑐2) = 𝑔̅ =

1        2

∫ (3𝑥2 − 𝑎𝑥 + 8𝑙𝑛2)𝑑𝑥 = 2 0[pic 5]

1

[𝑥3 −[pic 6]

2

𝑎𝑥2

[pic 7]

2

2

+ (8𝑙𝑛2)𝑥]|

0

= 4 + 8𝑙𝑛2 − 𝑎

Según el enunciado 𝑓̅ = 𝑔̅, entonces, el valor de 𝑎 = 7, luego

𝑔(𝑐) = 3𝑐2 − 7𝑐 + 8𝑙𝑛2 = 8𝑙𝑛2 − 3

[pic 8][pic 9]

3𝑐2 − 7𝑐 + 3 = 0 ⇒ 𝑐 = 7 ± √13

6[pic 10]

Por lo tanto, los valores 𝑐 que satisfacen el teorema para la función 𝑔 son: 𝑐2 = {0.5656; 1.7677}

1. Dada la siguiente integral: 

[pic 11]

2[pic 12]

3[pic 13]

𝐼 =  ∫(1 − 𝑥)3 (  )[pic 14]

2

−1

𝑥2

𝑑𝑥

[pic 15]Si 𝐿 es la aproximación de 𝐼 por el punto izquierdo y 𝑅 es la aproximación de 𝐼 por el punto derecho, para 𝑛 = 3 (𝑛 número de sub intervalos):

1. Calcule el valor de 𝐼𝐷 = (𝐿 + 𝑅)/2.        (2 puntos)
2. Aproxime 𝐼 por el punto medio para 𝑛 = 3,        (1 punto)
3. Considerar el valor de 𝐼 = 3.9085 y compárelo con los resultados encontrados en a) y b), explique.        (1 punto)

Solución.

Tenemos, 𝑎 = −1, 𝑏 = 2, 𝑛 = 3 por lo tanto, ∆𝑥 = 1

Calculamos 𝑓(𝑥𝑖) para cada 𝑥𝑖, 𝑖 = 0 a 3 construimos las siguientes tablas:

a)

𝐼𝐷 =

b)

(13.0000 + (−4.0625))

2        = 4.4687[pic 16]

c) Comparando con los resultados obtenidos en el ítem a) y b) con el valor de 𝐼 = 3.9085 se puede observar que a pesar de trabajar con valores muy bajos de 𝑛 se obtiene, buenos resultados y una mejor aproximación se consigue usando los valores del punto medio.

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