Unidad 3 De Estadistica

INTRODUCCIÓN

Históricamente la idea de integral se halla unida al cálculo de áreas a través del teorema fundamental del cálculo. Ampliamente puede decirse que la integral contiene información de tipo general mientras que la derivada la contiene de tipo local.

El Concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de: antiderivada.

Las reglas de la derivación son la base que de cada operación de integral indefinida o antiderivada.

Es importante tener en cuenta que cuando se invierte algo donde intervienen más de una operación, éstas han de invertirse pero en orden opuesto. Por aclarar esto, si se considera la operación de ponerse el calcetín y después el zapato, lo inverso será primero quitarse el zapato y luego el calcetín. Cuando tenemos xn, al derivar multiplicamos por el exponente y luego disminuimos éste en una unidad, lo inverso será, primero aumentar el exponente en una unidad y después dividir por el exponente, lo cual es el procedimiento que se toma al resolver una operación de antiderivada, también llamada integral indefinida o primitiva de una función.

A la hora de hablar de antiderivadas intervienen más elementos como son los llamados máximos y mínimos que básicamente son las alturas a la que llega la curva trazada de una función, la cual puede ser cóncava. Otros de los elementos a mencionar son: la monotonía, valores extremos de una función.

UNIDAD 5: INTEGRACION Y APLICACIONES.

5.1 CONCEPTO DE ANTIDERIVADAS

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

Teorema

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como c constante real.

Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:

• Concepto.

• Propiedades.

• Reglas de integración.

• Integrales inmediatas.

• Métodos clásicos de integración:

-Integración por sustitución.

-Integración por partes.

-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.

• Uso de tablas.

• Integración de funciones trigonométricas sencillas.

• Integración de funciones racionales sencillas.

PROPIEDADES DE INTEGRALES INDEFINIDAS DE UN FUNCIÓN

Las propiedades de integrales indefinidas de una función se basan en las propiedades de las derivadas ya que cualquier propiedad de las derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivada.

La Integral indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir:

* f y g son dos funciones definidas en un conjunto R de números reales

* Antiderivada.

* k es un número real.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS (Absolutos y relativos)

En la gráfica se pueden observar una serie de puntos donde el ciclista pasa de "subir" a "bajar" o bien de "bajar" a "subir". Esos puntos son donde alcanza la cima de una montaña o bien donde se encuentra en el punto más bajo del recorrido. Tiene por tanto sentido que intentemos clasificar también dichos puntos y que a los puntos donde se alcanzan las cimas los llamemos máximos y a los puntos donde alcanza las menores alturas los llamemos mínimos. Un máximo que no esté en los extremos la función tiene que pasar de creciente a decreciente y que en los mínimos que no están en los extremos la función tiene que pasar de ser decreciente a ser creciente.

También se puede definir de la siguiente manera:

Sea a un punto del dominio de definición de f, diremos que en a se alcanza:

a) Un máximo relativo si b) Un máximo absoluto si c) Un mínimo relativo si d) Un mínimo absoluto si

TRAZADOS DE CURVAS

CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

Criterio de la primera derivada:

Se procede de la siguiente forma:

. Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante.

. Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.

. Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Criterio de la segunda derivada:

Este procedimiento consiste en:

. calcular la primera y segunda derivadas

. igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

. sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.

. sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

Función Creciente.

MONOTONÍA

* Función Creciente.

Si la función f(x) derivable en (a, b), entonces: f(x) creciente en

* Función Decreciente

Si la función f(x) derivable en [a, b], entonces: f(x) es decreciente en

Nota: La desigualdad estricta se cumple cuando f(x) es estrictamente creciente o decreciente.

CONCAVIDAD

Determinar el sentido de la curvatura de una función, para ello definamos

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