Universidad

Solución de ecuaciones no lineales.

Método de la bisección.

Método de falsa posición.

Método de la secante.

Método de newton-raspón.

Método para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

Método de newton-raspón.

Método interactivo.

Solución de ecuaciones lineales.

Método de la matriz inversa.

Método de eliminación gaussiana con pivote y sin pivote.

Método descomposición L.U.

Métodos iterativos (Gauss Jordán, Guaus Seidel).

Interpolación y ajuste de curvas.

Interpolación polinomial utilizando el polinomio de LaGrange.

Formula de interpolación.

Formula de interpolación de newton basadas en diferencias finitas.

Diferencias adelantadas, centradas y atrasadas.

Ajuste de curvas utilizando el método cuadrado:

Ajuste lineal.

Ajuste polinomial.

Ajuste exponencial.

Ajuste logarítmico.

Diferencias numéricas.

Diferenciación y sus aplicaciones.

Diferenciación utilizando la fórmula de interpolación de newton con diferencias adelantadas, centradas y atrasadas.

Integración numérica.

Integración gráfica y sus aplicaciones utilizando la fórmula del trapecio y la parábola.

Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales.

Método de culer

Método de culer modificado

Método de riungue, kiutta que tiene varias órdenes.

La reducción de sistemas de ecuaciones ordinarias.

Método de culer

Método de culer modificado

Método de riungue, kiutta que tiene varias órdenes.

Métodos de solución de ecuaciones diferenciales de orden 4.

Solución de ecuaciones diferenciales de derivadas parciales por elementos finitos.

MÉTODO DE BISECCIÓN.

Si f es una función continua sobre el intervalo [a,b] y si f(a) f(b)<0, entonces f debe tener un cero en (a,b). Dado que f(a)f(b)<0, la función cambia de signo en el intervalo [a,b] y por lo tanto tiene por lo menos un cero en el intervalo.

Esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio para funciones continuas, que establece que si f es continua en [a,b] y si k es un número entref(a) y f(b) , entonces existe por lo menos un c (a,b) tal que f(c)=k.

(para el caso en que f(a)f(b)<0 se escoge k=0, luego f(c)=0, c (a,b)).

El método de bisección consiste en dividir el intervalo en 2 subintervalos de igual magnitud, reteniendo el subintervalo en donde f cambia de signo, para conservar al menos una raíz o cero, y repetir el proceso varias veces.

Por ejemplo, suponga que f tiene un cero en el intervalo [a,b].

Primero se calcula el punto medio del intervalo ; después se averigua sí f(a)f(c)<0. Si lo es, entonces f tiene un cero en [a,c].

A continuación se renombra a c como b y se comienza una vez más con el nuevo intervalo [a,b], cuya longitud es igual a la mitad del intervalo original.

Si f(a)f(c)>0 , entonces f(c)f(b)<0 y en este caso se renombra a c como a.

En ambos casos se ha generado un nuevo intervalo que contiene un cero de f, y el proceso puede repetirse.

Ejemplo.

La función f(x) = xsenx – 1 tiene un cero en el intervalo [0,2], porque f(0) = -1 yf(2)=0.818595.

Si se denota con entonces c1 = 1. Ahoraf(c1) = f(1) = -0.158529, luego la función tiene un cero en el intervalo [c1, b1] = [1,2] ; se renombra a2=c1 y b2=b1 .

El nuevo punto medio es y f(c2) = f(1.5) = 0.496242, el cero esta en el intervalo [a2, c2] y se renombra como [a3,b3].

En la tabla de abajo se muestran las primeras nueve iteraciones del método de bisección para f(x)= xsenx –1 con a=0 b=2.

n Extremo izquierdo an Extremo derecho bn Punto medio cn Valor de la función f(cn) Error Relativo

1 0 2 1 -0.158529

2 1 2 1.5 0.496242 0.333333

3 1 1.5 1.25 0.186231 0.2

4 1 1.25 1.125 0.015051 0.111111

5 1 1.125 1.0625 -0.071827 0.0588235

6 1.0625 1.125 1.09375 -0.028362 0.0285714

7 1.09375 1.125 1.109375 -0.006643 0.0140845

8 1.1093750 1.125 1.1171875 0.004208 0.0069930

9 1.1093750 1.1171875 1.11328125 -0.001216 0.0035087

(c = 1.114157141 es el cero de f(x) = xsenx - 1)

Para detener el método de bisección y dar una aproximación del cero de una función se pueden usar varios criterios (llamados criterios de parada).

Uno de los criterios de parada consiste en examinar si |f(cn)| < , donde es una tolerancia previamente establecida (por ejemplo = 10-3). Otro criterio que puede utilizarse es examinar sí

También se puede usar como criterio de parada el error relativo entre dos aproximaciones del cero de f ,

En el ejemplo anterior si =0.005, el procedimiento se pararía en la octava iteración con el criterio |f(cn)|< , ya que:

|f(c8)| = |f(1.1171875)| = 0.004208 < = 0.005,

pero si se usa el criterio , el procedimiento se detendría en la novena iteración porque:

Cuando se generan aproximaciones por medio de una computadora, se recomienda fijar un número máximo de iteraciones N que debería realizar la máquina. Esto con el fin de contar con un resguardo para evitar la posibilidad de que el proceso de cálculo caiga en un ciclo infinito cuando la sucesión diverge (o cuando el programa no esta codificado correctamente). Un algoritmo para el método de bisección es:

Paso 1: Elija valores iniciales inferior, xa, y superior, xb, que encierren la raíz, de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f(xl) f(xu) < 0.

Paso 2: Una aproximación de la raíz xr se determina mediante:

x_r=x_(a+ x_b )/2

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué sub intervalo está la raíz:

a) Si f(xl)f(xr) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del sub intervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga xu = xr y vuelva al paso 2.

b) Si f(xl)f(xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del sub intervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga xl = xr y vuelva al paso 2.

c) Si f(xl)f(xr) = 0, la raíz es igual a xr; termina el cálculo.

Ejemplos:

Teorema. (Error en el método de bisección).

Si f es continua en [a, b] y f(a) f(b) < 0, el método de bisección genera una sucesión que aproxima un

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