Vector Tangente

Vector tangente, normal y binormal

Vector tangente

Definición: un vector tangente es un vector velocidad de una curva, que indica la dirección de movimiento de la misma. Puede definirse de diversas formas:

Como el gradiente de una curva vectorial, en geometría diferencial de curvas.

Como un miembro del espacio tangente, en geometría diferencial de variedades.

El vector tangente se resuelve con la siguiente formula:

Esta nos dice que, para obtener el vector tangente, es necesario dividir la derivada de la función sobre la magnitud de dicha derivada para así obtener nuestro vector tangente.

Vector normal

Definición: El vector normal nos indica el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.

El vector normal se resuelve con la siguiente formula:

Esta fórmula nos indica que para resolver el vector normal hay que hacer el producto cruz de la primera derivada de la función por la segunda derivada de esta, teniendo esto hay que hacer de nuevo el producto cruz de la resultante por la primera derivada para así poder obtener nuestro vector normal.

Vector binormal

Definición: el vector binormal, junto con el vector tangente (1er vector) y con el vector normal (2do vector) forma el sistema ortogonal local.

Al ser normal a los vectores t y n, el vector binormal es normal al plano osculador.

Se define y se calcula como el producto vectorial del vector tangente por el vector normal:

b = t x n  

Ejemplo: sea □(r ⃗(t)=2 cos⁡〖ti+2sen〗 tj+tk), la curva en el espacio y P=(2,0,0) un punto en la curva hallar:

Los vectores unitarios □(T ⃗(t),□(N ⃗(t),□( B ⃗(t))) )

Grafica de los vectores, las flechas indican a cada vector en el espacio: Azul=vector tangente, Verde =vector normal, Rojo=vector binormal

Formulas

Operaciones

Primera derivada

□(r ⃗(t)=2 cos⁡〖ti,2sen〗 tj,tk)

□(r ⃗^I (t)=-2 sen⁡〖ti,2 cos〗 tj+1k)

r ⃗^I (t)=(0,2,1)

Magnitud de la primara derivada

|(|r ⃗^I (t)|)|=〖√2〗^2+1^2

|(|r ⃗^I (t)|)|=√4+1

|(|r ⃗^I (t)|)|=√5

Segunda derivada

□(r ⃗^I (t)=-2 sen⁡〖ti,2 cos〗 tj+1k)

r ⃗^II (t)=-2 cos⁡〖ti,-2 sen〗 tj,0k

r ⃗^II (t)=-2,0,0

Producto cruz de la primera derivada por la segunda

r ⃗^I (t)×r

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