Vectores Tridimensionales

VECTORES TRIDIMENSIONALES

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Teniendo un vector A:

Puede descomponerse en sus 3 componentes, estas son Ax, Ay y Az. Además podemos saber los ángulos que tiene el vector respecto a los ejes, el ángulo de A a Ax (), el ángulo de A a Ay (), y el ángulo de A a Az (). Estos ángulos son llamados “ángulos directores” lo que quiere decir que nos dan la dirección del vector A en el espacio.







El vector A posee además vectores unitarios (solo definen la dirección del vector, no afectan la magnitud), es decir, que tiene un vector unitario en un eje en x, uno en y y uno en z:



Al vector en x lo denominaremos como “i”, al vector en y lo denominaremos como “j” y al vector en z como “k”.

Así, a este vector A lo podemos definir en función de la suma de los vectores unitarios:

A = Ax + Ay + Az

Para calcular el vector unitario, si la magnitud del vector A (|A|) es  0, entonces:

Ua = A / |A|

Esto es que el vector unitario de A (Ua) es igual a el vector A sobre la magnitud del vector A (|A|). De la anterior fórmula se tiene que para obtener el vector A (despejando la fórmula) nos queda:

A = |A| * Ua

El vector A es igual a la magnitud del vector A (|A|) por el vector unitario de A (Ua).

VECTOR CARTESIANO

El vector cartesiano va a ser el vector A igual a la magnitud de cada una de sus componentes (x,y,z) por el vector unitario de cada eje que es el que nos da la dirección (i,j,k). Esto es:

A = (Ax)  (i) + (Ay)  (j) + (Az) (k)

Esta ecuación es lo que nos define un vector cartesiano en tres dimensiones en el espacio.

Para definir la magnitud vectorial de A (|A|) se aplica la fórmula de teorema de Pitágoras pero con modificaciones adaptadas a este caso, ya que si proyectamos el vector A en los ejes Ax, Ay y Az obtenemos triángulos calculables con esta fórmula:

(|A|) =  Ax2 + Ay2 + Az2

DIRECCION VECTORIAL

Se determina con los cosenos directores, esto es porque como se vio anteriormente existe un ángulo  del vector A con respecto al eje Ax, se proyectamos eso sobre el eje xy tenemos:

Hipotenusa (A)

 Cateto adyacente (Ax)

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