Vibraciones Mecánicas

2- Vibraciones sin amortiguamiento

2.1- Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple

Considere un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k. Puesto que en el tiempo presente se considera solo el movimiento de sucentro de masa, a este cuerpo se le considerara como una partícula. Cuando la partícula se encuentra en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son su peso w y la fuerza T ejercida por el resorte, de magnitud T=kδ_st, donde δ_stdenota la elongación del resorte. Por consiguiente:

w=kδ_st

Supóngase ahora que la partícula se desplaza una distancia x_m se seleccionó más pequeña que δ_st, la partícula se moverá hacia arriba y hacia debajo de su posición de equilibrio; se generó una vibración de amplitud x_m.

Obsérvese que la vibración también se puede producir si se le imparte una cierta velocidad inicial a la partícula, cuando esta se encuentra en su posición de equilibrio X=0o, mas generalmente, soltándola desde cualquier posición dada x=x_0 con una velocidad inicial dada v_0.

Para analizar la vibración, considérese que la partícula está en una posición P en un instante arbitrario t. Si x denota el desplazamiento OP medido desde la posición de equilibrio 0 (positivo hacia abajo), se observa que las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso W y la fuerza T ejercida por el resorte, que, en esta posición, tiene una magnitud T=k(δ_st+x). Recordando que w=kδ_st, la magnitud de la fuerza resultante F de las dos fuerzas (positiva hacia abajo) es:

F=w-k(δ_st+x)=-kx

Por lo tanto, la resultante de las fuerzas ejercidas sobre la partícula es proporcional al desplazamiento OP medido a partir de la posición de equilibrio. De acuerdo con la convención de signos, se observa que la dirección de F siempre es hacia la posición de equilibrio 0. Si sustituye F en la ecuación fundamental F=ma, y puesto que a es la segunda derivada de X´´ de x con respecto a t, se describe:

mx´´+kx=0

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