Vibraciones mecanicas

“VIBRACIONES MECÁNICAS “

PROGRAMA

Unidad 1.- Cinemática de las maquinas.

Unidad 2.- Sistema de vibración libre sin amortiguamiento

Unidad 3.- Sistema de vibración libre con amortiguamiento

Unidad 4.- Sistema de  Vibración forzada sin amortiguamiento

Unidad 5.- Sistema Vibración forzada con amortiguamiento

EVALUACION:

Asistencia                               10%

Participación                           10%

Tareas                                    10%

Examen                                  70%

Unidad 1

CLASIFICACIÓN Y CARACTERISTICAS DEL SISTEMA VIBRATORIO ELEMENTOS DEL MODELO MATEMÁTICO

K.-CONSTANTE DE RESORTE: Se define como la fuerza por unidad de deformación, unidades: lb/plg, N/m, Kg/m, etc.

[pic 1]

C.-CONSTANTE DE AMORTIGUAMIENTO: Se define como la fuerza por unidad de velocidad (se supone que la amortiguación es viscosa, es decir, que la fuerza resistente es proporcional a la velocidad) y está dada en unidades como: Kg-m/seg, lb-plg/seg, N/m.

[pic 2]

M.-masa del cuerpo o sistema: corresponde a la masa total del cuerpo o sistema sujeto a vibración, unidades son: lb, Kg, gr, etc.

Representación de constantes anteriores en un modelo

[pic 3]

        Representación física[pic 4][pic 5][pic 6]

        J

        θ

[pic 7]

Representación esquemática

GRADOS DE LIBERTAD.

[pic 8]

Sistema de un grado de libertad.

        [pic 10][pic 11][pic 12][pic 9]

        Sistema de 2 grados de libertad.[pic 13]

        [pic 14]

        [pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

FRECUENCIA DE EXCITACIÓN

[pic 19]

[pic 20]

F=     (e.p.s)[pic 21]

   
      (rad/seg)[pic 22]

T – periodo ( seg)

FRECUENCIA NATURAL

   [pic 23][pic 24]

K= F/x rigidez o constante de resorte

( lb/plg ; lb/ pie; N/m; N/em etc)

m. masa total del sistema

wn = 2 fn (rad/seg) *fn =      e.p.c [pic 25][pic 26][pic 27]

wn =       (rad/seg) *    T= 2 (seg)[pic 28][pic 29]

CASO DE RESONANCIA

[pic 30]

Movimiento armónico simple

Se refiere a una vibracion tal que el desplazamiento x del objeto pueden representarse por la funcion

En donde  xo representa el desplazamiento máximo o amplitud de desplazamiento de la vibracion.

[pic 31]

Pero :
[pic 32]

x= al desplazamiento

F= frecuencia de vibracion

T= tiempo transcurrido

Lo anterior se ilustra en la figura donde se aprecia que este tipo de movimiento puede representarse con un senoide por lo que se le conoce como movimiento senoidal.

Como se aprecia en la figura el movimiento se repite cuando transcurre un periodo t es decir partiendo de t=0 hasta t=T

[pic 33]

Senoide que representa el movimiento osilatorio de un punto.

X=x osen (2πf ) t

[pic 34][pic 35]

[pic 36]

Representación de dos senoides como se veria en la pantalla del osiloscopio.

[pic 37]

Problema  #  1

Una pequeña partícula se mueve con movimiento armónico simple. Si tiene una amplitud de 7 cm. y un periodo de 1.03 seg. Encuentre:

1. Su velocidad máxima
2. Su aceleración máxima
3. El tiempo cuando la partícula se ha desplazado 3 cm del extremo derecho de la trayectoria y se mueve a la izquierda

[pic 38]

Datos:                                            

T=1.03 seg

=.07 m[pic 39]

max= ?[pic 40]

 max =?[pic 41]

t=?  

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

 =  = =[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]

                                           [pic 51]

=                   
=
                                                                             [pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

Problema  #  2:

La velocidad máxima de una particula que se mueve con movimiento armonico simple es de 36 cm/seg  y su periodo es de 2 segundos.

1. Cual es la amplitud?
2. Aceleración máxima?

                                           [pic 59]

Xmax = 36cm/seg

T=  2 seg

Solución:

[pic 60]

 = [pic 61][pic 62][pic 63]

 = [pic 64][pic 65]

W=2f = 2/T rad/seg[pic 66][pic 67]

W=  rad/seg[pic 68]

a) amplitud

.= x/w= 36cm/3.1416rad.seg  = 11.45[pic 69]

b) aceleración

Xmax= [pic 70]

       =- ²(11.45cm) = 113.09cm/seg²[pic 71]

 Unidad 2

La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema como se muestra en la figura de la deformación del resorte en la posición de equilibrio estático en Sst y la fuerza de resorte K Sst que es igual a w=mg.
Midiendo el desplazamiento x a partir de la posición de equilibrio estático las fuerzas que actúan en m son K (Sst + x) y Wo Si x se toma positivo hacia abajo todas las cantidades fuerza, velocidad y aceleración son también positivas en la dirección vertical hacia abajo.

Aplicando la Segunda ley de Newton a la masa tenemos lo siguiente:[pic 72]

Aplicando F=m.a

ΣF= m
W - K(Sst + x)=m
W – W – Kx =m
m + Kx=0 Ecuación diferencial del movimiento
[pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]

Ejercicio  #  1 :  Un oscilador armónico tiene una masa m igual a 1.2 kg y una rigidez de resorte k= 8500 nm, encuentre la frecuencia natural en radianes por segundo hertz y en ciclos por minuto
[pic 77]

wn=? (Rad/seg)[pic 78]

  fn=? (Hertz)

fn=? (c.p.m)

wn=   wn=  = 84.16 (rad/seg)[pic 79][pic 80]

fn=       fn = [pic 81][pic 82]

Ejercicio # 2: Una masa de 0.45 Kg unida a un resorte liviano introduce un alargamiento de 7.87 mm. Determine la frecuencia natural del sistema dado en Rad/seg, ciclos/seg y el periodo

m = 0.45 Kg        
Wn = ?
fn =?
T =?
Sst = 7.87 mm

F =ma
Wn=
Wn= [pic 83][pic 84]

Wn= [pic 85]

Wn = 35.3 rad/seg

Wn = 2πfn

fn =  = = 5.61 ciclos/seg[pic 86][pic 87]

T =  =  = 0.178 seg[pic 88][pic 89]

Ejercicio # 3: Un oscilador tiene una masa m=10 kg y su periodo de vibración natural es medido en un osciloscopio debe ser de 35 milésimas de segundo, determine la rigidez del resorte.

Datos[pic 90]

M= 10 kg

p.v.n = 35 mil/seg

rigidez del resorte=?

Solución

W2n= [pic 91]

K= w2nxm

Wn = [pic 92]

Wn = [pic 93]

Wn = 179.5 rad/seg

...