Vibración Forzada

Vibración Forzada-amortiguada.

Una vibración forzada-amortiguada es la que presenta un sistema que se encuentra en equilibrio y es sacado de este por una fuerza la cual es absorbida y disipada por un elemento amortiguador el cual provoca un desfasamiento de la vibración respecto al tiempo.

Para poder determinar su frecuencia natural nos basaremos en este sistema de masa-resorte-amortiguador y una fuerza externa[pic 1]

[pic 2]

Y su diagrama de cuerpo libre:

[pic 3]

Aplicamos la segunda ley de Newton:

[pic 4]

[pic 5][pic 6]

Hay que considerar que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden y no homogénea y por lo tanto la solución general viene dada por:

[pic 7]

Donde XC(t) es la solución complementaria (considerando F(t)=0) y Xp(t) la solución particular.

La solución complementaria está dada por la ecuación:

[pic 8]

Este término va desapareciendo con el paso del tiempo por lo que la solución representa el estado transitorio del movimiento.

Ahora nos enfocaremos en la solución particular utilizando la ecuación no homogénea.

Necesitamos hacer la primera y segunda derivada de [pic 9]

[pic 10][pic 11][pic 12]

Ahora se sustituye en la ecuación diferencial:

[pic 13]

Sacando el seno y el coseno por factor común nos queda:

[pic 14][pic 15]

Separamos a A´ de cada una de las ecuaciones y dividiéndolas obtenemos:

[pic 16][pic 17]

Como:
[pic 18]

Entonces:

[pic 19]

De:

[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

De donde:[pic 25][pic 26]

La solución particular de una oscilación armónica con amortiguamiento, el cual suponemos es de tipo viscoso, se puede expresar de la siguiente manera:

[pic 27][pic 28]

Finalmente llegamos a la siguiente ecuación:

[pic 29]

Donde:

X: Amplitud de la vibración forzada

[pic 30]

El ángulo ϕ es el ángulo en que se desfasa la gráfica del sistema debido al elemento amortiguador

Factor de amplificación (FA)

Es la razón de la amplitud de la deflexión causada por la vibración forzada a la deflexión estática causada por la fuerza.  Este factor nos indica que tanto el sistema amplia o disminuye su respuesta con respecto al valor máximo ligado a la fuerza de excitación.

[pic 31]

La razón de frecuencias es la relación entre la frecuencia angular y la frecuencia natural del sistema y está definida por:

[pic 32]

Finalmente tenemos esta ecuación:

[pic 33]

Y el ángulo de desfasamiento ϕ queda así:

[pic 34]

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1.- Una parte de una máquina de masa de 1.95 kg vibra en un medio viscoso. Determine el coeficiente de amortiguación, si una fuerza de excitación externa de 24.46 N genera una amplitud de resonancia de 1.27 cm con un periodo de 0.20 s.

Datos:

 m=1.95 Kg

...