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MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

El objetivo principal de las medidas de tendencia central es poder representar por medio de un solo número al conjunto de datos, es decir, dan valores representativos de la distribución de frecuencias, situados en algún lugar intermedio, alrededor del cual, se encuentran los otros valores. Nos indican dónde tienden a concentrarse los valores.

Existen tres medidas de tendencia central generales, que son, la Media aritmética, la Mediana y la Moda; así como otras que se utilizan en casos particulares como la Media ponderada, la Media Armónica, la Media Geométrica, la Media Cuadrática.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL GENERALES.

Media Aritmética : Es el promedio de los datos, y su objetivo principal es encontrar el valor que debería de estar en el centro. Su ventaja principal es que es la única medida en la que , su inconveniente es que se ve influida por valores extremos.

Datos No Agrupados:

ejemplo: Calcular la media aritmética de los números 10,12,36,25,58

Datos Agrupados:

donde: k = última clase

Nota: La media muestral se denota , la media poblacional se conoce como .

Ejemplo: calcular el salario promedio de :

Como sustituimos en la formula y se

obtiene:

Mediana : Es el valor central, el que delimita al 50% de los datos, es decir, es el valor que se encuentra exactamente en la mitad de los datos.

Datos No agrupados: En los datos ordenados se aplica la siguiente relación, para encontrar la posición de los datos.

; en donde n = número total de datos

Entonces podemos tener sólo dos alternativas

a) El valor de la posición puede ser entero y lo único que debemos hacer es contar el número de lugares que nos indica esta formula.

b) El valor de la posición nos da un valor decimal (.5) y entonces debemos: sumar los valores involucrados y dividirlos entre 2. Por ejemplo; si tenemos los valores 5, 7, 8, 13 entonces la posición nos da 2.5 por que tendremos que seleccionar a los números 7 y 8 para luego sumarlos (15) y dividirlos entre 2 (7.5)

Datos Agrupados:

Se localiza la clase o renglón que contiene a la mediana, con la siguiente condición

, es decir debemos encontrar la primer frecuencia acumulada que sea mayor o igual a la posición, para posteriormente aplicar la siguiente formula: donde:

Nota: Si la posición, en los datos no agrupados, es decimal (.5), se toma el promedio del dato anterior y el siguiente.

Ejemplo: Calcular el sueldo mediano de:

Fronteras($) Salario

(X) No. De emp.

(F)

12,500-17,500 $15,000 18

17,500-22,500 $20,000 35

22,500-27,500 $25,000 29

Primero se obtiene la posición:

Entonces buscamos el renglón de la mediana buscando la fa igual o más grande de 41.5, como 18+35 = 53, entonces decimos que es el segundo renglón o clase donde se encuentra la mediana y aplicamos la fórmula:

Moda : Es el valor más frecuente, el que se observa mayor número de veces.

Datos No Agrupados: Después de ordenar los datos buscamos el valor que más se repite.

Ejemplo: Encontrar la moda de; 47, 48, 49, 49, 49, 51, 51, 52. Podemos observar que el número que más se repite es el 49. Si ningún valor se repite, no existe moda

Datos Agrupados:

Se localiza la clase modal buscando la frecuencia más alta y después se aplica la siguiente fórmula:

Nota: La distribución puede ser: amodal, unimodal, bimodal, trimodal,...., polimodal.

Ejemplo: Calcular el salario que más se repite en:

Fronteras($) Salario

(X) No. De emp.

(F)

12,500-17,500 $15,000 18

17,500-22,500 $20,000 35

22,500-27,500 $25,000 29

Observamos las frecuencias (No. de empleados) y decimos que la clase modal es la segunda, porque 35 es la frecuencia más grande y aplicamos:

Relación entre Media Aritmética, Mediana y Moda:

Para distribuciones unimodales que sean poco asimétricas:

Sus posiciones relativas, según la simetría de la distribución de frecuencias es:

Relación Simetría

Simétrica

Sesgo positivo

Sesgo negativo

Nótese que en nuestros ejemplos tenemos:

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA CASOS ESPECIALES

Media Aritmética Ponderada : Es el promedio de los datos en donde se le da un peso o importancia específica a cada observación. Se calcula:

Ejemplo:

Se desea obtener el precio promedio de:

Aplicamos la formula:

Media Geométrica (G): Con cierto tipo de datos, la media aritmética no da el valor promedio correcto. La media geométrica sirve para promediar los crecimientos geométricos de una variable.

Si suponemos que Y representa el factor de crecimiento geométrico de la variable X, es decir: ,entonces el factor de crecimiento geométrico promedio de la variable X será:

Datos No Agrupados:

Ejemplo:

Si los precios de la acción “Anáhuac” en los últimos cuatro días fueron; 4.75, 5.23, 4.78 y 6.32 calcula el factor de crecimiento promedio y el crecimiento porcentual promedio.

Existen dos formas de resolverlo:

a) De la forma más ortodoxa, es decir:

Lo que acabamos de obtener es factor de crecimiento promedio y para obtener el crecimiento se aplica la siguiente formula:

b) Otra forma es

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