Ecuaciones de mallas y de nodos

CAPITULO 1

ANALISIS DE REDES

1.1.-        LA ECUACION DE MALLAS

[pic 1]

Figura  1

Ea/Eb..... = Fuente de tensión.                        

I1 / I2 ...     = Corriente en las mallas

Zae/Zad....    = Impedancias en las ramas

En el circuito de la figura 1, debemos definir primeramente la cantidad de mallas posibles que pueden ser formados y numerarlos. En este caso se tiene cuatro mallas.    

Luego dibujamos la corriente en cada malla con un sentido arbitrario, dando los números 1,2,3... a las corrientes en coincidencia con el número de mallas.

Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff en cada malla, empezamos por la malla 4, correspondiente a la corriente I4. [pic 2]

Reagrupando[pic 3]

[pic 4]

El primer miembro de la ecuación (1) es la suma de las caídas de tensiones a lo largo de la malla en el sentido considerado positivo para la corriente en la misma malla.

En el segundo miembro, la corriente de la malla considerada es multiplicada por la suma de las impedancias de la malla. A este producto se le suma (con el signo apropiado) las caídas de tensión debidos a todas las otras corrientes de mallas que circulan por una de las impedancias de la malla original.         

Para todas las otras mallas de la figura 1, tenemos

E1 = Z11I1 + Z12I2  + Z13I3  + Z14I4

                E2 = Z21I1 + Z22I2  + Z23I3  + Z24I4

                E3 = Z31I1 + Z32I2  + Z33I3  + Z34I4

                E4 = Z41I1 + Z42I2  + Z43I3  + Z44I4                (2)

Estas ecuaciones (2) se conocen con el nombre de ecuaciones normalizadas de mallas.

Estas ecuaciones constituyen la base para la excelente solución de este tipo de problemas a través de computadores.

Los primeros miembros son las sumas de las caídas de tensiones a lo largo de las mallas.

Las impedancias Z11, Z22, Z33 y Z44 son llamadas impedancias propias de las mallas y son iguales respectivamente a la suma de las impedancias en las mallas 1, 2, 3 y 4.

Las otras impedancias son llamadas de impedancias mutuas de las mallas, que son comunes a las mallas indicadas por los sub-índices de las impedancias.

Cada impedancia mutua tendrá su signo (+ o -), conforme sean iguales u opuestos los sentidos positivos de las corrientes de las dos mallas en la impedancia considerada. Cuando los sentidos de las corrientes son opuestos, el signo de la impedancia mutua es negativo.

La ventaja de la forma normalizada de las ecuaciones de mallas es que las mismas se aplican a cualquier circuito.

Para la aplicación de estas ecuaciones se deben seguir los siguientes pasos:

• Identificación de la cantidad de mallas en el circuito.
• Determinación del número de ecuaciones de mallas.
• Determinación de las impedancias en las ecuaciones.
• Determinación de las FEMs en las mallas.

1.2.-        ECUACIONES DE NODOS

[pic 5]

                                                Figura  1.2

Ya / Yb.... = Admitancias de las ramas 1-2 y 2-3

I1 / I2 / I3     = Fuentes de corriente.

V1 / V2.....      = Tensiones de los nodos con respecto a la referencia (Punto O)

Aplicando la ley de las corrientes de Kirchhoff al nodo 1, igualando la corriente que entra en el nodo, proveniente de la fuente, con la que sale, tendremos:

Y para el nodo 2[pic 6]

Reagrupando las ecuaciones, tenemos[pic 7]

[pic 8][pic 9]

Ecuaciones similares pueden ser escritas para los nodos 3 y 4 y las cuatro ecuaciones pueden ser resueltas simultaneamente para las tensiones V1, V2, V3 y V4.

El número necesario de ecuaciones nodales es uno a menos que la cantidad total de nodos en el circuito. En este caso tendremos cuatro ecuaciones correspondientes al circuito con cinco nodos.

La forma normalizada para las cuatro ecuaciones nodales será:

I1 = Y11V1 + Y12V2 + Y13V3 + Y14V4

I2 = Y21V1 + Y22V2 + Y23V3 + Y24V4

I3 = Y31V1 + Y32V2 + Y33V3 + Y34V4

I4 = Y41V1 + Y42V2 + Y43V3 + Y44V4                        (1.2.3)

Las admitancias Y11, Y22, Y33, Y44,  son llamadas de admitancias propias de los nodos y cada una de ellas es igual a la suma de todas las admitancias que terminan en el nodo identificado por los índices respectivos.

Las otras admitancias son llamadas de admitancias mutuas de los nodos, siendo cada una igual a la suma, con signo negativo, de todas las admitancias conectadas directamente entre los nodos identificados por los dos subíndices.

1.3.-        EQUIVALENCIA DE FUENTES.

En algunos los problemas de análisis de circuitos, la sustitución de una fuente de tensión constante (FEM) con una impedancia en serie,  por una fuente de corriente constante con una impedancia en paralelo es de gran ayuda. En al figura 1.3.1 a y b se representan los dos circuitos. Ambas fuentes con sus respectivas impedancias estan conectadas a un bipolo cuya impedancia de entrada es ZL.

                                        [pic 10]

                                        Figura  1.3.1

La carga puede ser considerada como un circuito pasivo, esto significa que cualquier fuente de FEM interna en la carga es considerada como un cortocircuito y cualquier fuente de corriente un circuito abierto.

En la figura 1.3.1 (a) tenemos:

                                                VL = Eg - ILZg                         1.3.1

En la figura 1.3.1 (b) tenemos:

                                                VL = (IS – IL)Zp                         

                                                VL = IS Zp – ILZp                         1.3.2

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