Teorema: Series Geométricas

Teorema: Series Geométricas 

Las series de la forma se llaman series geométricas. [pic 1]

1. Si entonces la serie geométrica de la forma   es convergente y además se tiene  converge en:  [pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

1. Si   entonces la serie  es divergente.[pic 6][pic 7]

Teorema: Series Telescópica

Una serie de la forma se llama serie telescópica. Además, es una serie en la cual cada término de la suma parcial se cancela con otro término en la suma, excepto el primero y el último se llama serie telescópica. De lo anterior se sigue que:[pic 8]

1. Si la serie  es finita entonces la serie [pic 9][pic 10]

1. Si la serie  es infinita y , entonces la serie  con [pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

Operaciones con series

Suma de series

Si las series y   son convergentes con sumas S1 y S2 respectivamente, entonces la serie[pic 15][pic 16]

es convergente, siendo su suma S1 + S2.[pic 17]

Propiedad Asociativa

1. Si la serie es convergente su carácter y su suma permanecen inalterados al sustituir grupos de términos consecutivos por sus sumas.[pic 18]
2. Si la serie   es divergente, sigue siéndolo al sustituirse grupos de términos consecutivos por sus sumas.[pic 19]
3. Si la serie es oscilante, en general, no se puede usar la propiedad asociativa.

Ejemplo. En la serie oscilante , asociando los términos de formas distintas se pueden obtener distintos resultados [pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Bibliografía

1. Teoremas importantes para series numéricas infinitas con términos constantes. (s. f.). StuDocu. Recuperado 8 de septiembre de 2022, de https://www.studocu.com/latam/document/universidad-latina-de-costa-rica/algebra-lineal/teoremas-importantes-para-series-numericas-infinitas- presentacion/5350563

1. UNIOVI, E. (s. f.). TEMA 3: Sucesiones y Series Cálculo para los Grados en Ingeniería [Diapositivas]. Unioviedo. https://www.unioviedo.es›calculo›beamer-tema3

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