Tipos De Series

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE VALLADOLID

CARRERA:

“Ingeniería Industrial”.

SEMESTRE:

Segundo

MATERIA:

“Calculo Integral”.

FECHA DE ENTREGA:

VIERNES 01 DE ABRIL DEL 2011.

ÍNDICE

Definición De Serie……………………………………………………………………………………………………………………………….2

Serie Finita…………………………………………………………………………………………………………………………………………….2

Serie Infinita…………………………………………………………………………………………………………………………………………3

Serie Numérica Y Convergencia………………………………………………………………………………………………………4

Prueba De La Razón (Criterio De D’Alembert)……………………………………………………………..…………….5

Prueba De La Raíz (Criterio De Cauchy)……………………………………………………………………………………….6

Serie De Potencias……………………………………………………………………………………………………………………………..7

Radio De Convergencia…………………………………………………………………………………………………………………….7

Serie De Taylor……………………………………………………………………………………………………………………………………..8

Representación De Funciones Mediante La Serie De Taylor………………………………………………………9

Calculo De Integrales De Funciones Expresadas Como Serie De Taylor…………………………………10

Bibliografia…………………………………………………………………………………………………………………………………………13

UNIDAD 4

Series

Definición De Serie

Es una sucesión en un conjunto de términos formados según una ley o regla determinada.

Por ejemplo:

1, 4, 9, 16, 25,

1,-x , x2 /2 , x3 /3 , x4 /4 , x5 /5

Una serie es la suma indagada de los términos de una sucesión. Así, de las sucesiones anteriores obtenemos las series

1+ 4 + 9 + 16 + 25

1-x + x2 /2 - x3 /3 + x4 /4 - x5 /5

Serie Finita

Se dice que es una serie finita cuando xi = 0 para todo i > n y yi = 0

Para todo i > m.

Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Las series pueden ser finitas o infinitas dependiendo de que el número de sumandos sea finito o infinito; por ejemplo:

1+3+5…+97+99 es una serie finita (tiene 50 términos).

1+3+5……………. es una serie infinita.

Serie Infinita

El estudio de las series infinitas fue considerado todo una novedad en el siglo XIV. El lógico Richard Suiseth, cuyo apodo era el calculador, resolvió este problema. Si durante la primera mitad de un intervalo de tiempo una variación tiene cierta intensidad, durante el siguiente cuarto la intensidad es el doble, el siguiente octavo la intensidad es el triple, y así de forma infinita, entonces, la intensidad media durante todo el intervalo será la intensidad de la variación durante el segundo subintervalo.

Esto es lo mismo que decir que las sumas de las series infinitas:

1/2+2/4+3/8+⋯+n/n^2 +⋯

Una aplicación importante de las sucesiones infinitas es la representación de “sumas infinitas”. Informalmente, si {an} es una sucesión infinita, entonces:

∑_(n=1)^∞▒〖a_n=a_1 〗+a_2+a_3+⋯+a_n+⋯

En una serie infinita (o simplemente una serie). Los números a_1,a_2,a_(3,) son los términos de la serie. En algunas series es conveniente empezar con el índice n=0 (o algún otro entero). Como convenio de escritura, es común representar una serie infinita simplemente como ∑a_n. En tales casos, el valor inicial para el índice debe deducirse el contexto establecido. Para encontrar la suma de una serie infinita, se debe considerar la sucesión de sumas parciales.

S_1=a_1

S_1=a_1+a_2

S_1=a_1+a_2+a_(3…)

S_n=a_1+a_2+a_3…+a_n

Si esta sucesión de sumas parciales converge

Ejemplo:

La serie ∑_(n=1)^∞▒1/2^n =1/2+1/4+1/8+1/16+⋯ tiene las sumas parciales siguientes.

S_1=1/2

S_2=1/2+1/4=3/4

S_3=1/2+1/4+1/8=7/8…

S_n=1/2+1/4+1/8+⋯+1/2^n =(2^n-1)/2^n

Como lim┬(n→∞)⁡〖(2^n-1)/2^n 〗=1 se sigue la serie convergente y su suma es 1.

Serie Numérica Y Convergencia

Considere que ∑_(n=1)^(+∞)▒u_n denota una serie infinita dad para la cual {s_n} es la sucesión de sumas parciales. Si lim┬(n→+∞)⁡〖s_n 〗 existe y es igual a S, entonces la serie es convergente y S es la suma de la serie.

En esencia, esta definición establece que una serie infinita es convergente si y solo si la sucesión de sumas parciales correspondientes es convergente. Si una serie infinita tiene una suma S, también se dice que la serie converge a S.

Ejemplo:

La serie infinita del ejemplo es

∑_(n=1)^∞▒1/2^n =1+1/2+1/4+1/8+1/16+⋯+1/2^(n-1) +⋯

Y la sucesión de sumas parciales es {s_n}, donde

s_n=1+1/2+1/4+1/8+⋯+1/2^(n-1)

Para determinar si la serie tiene una suma, debe calcularse lim┬(n→+∞)⁡〖s_n 〗. A fin de determinar una fórmula para s_n se utiliza la identidad algebraica

a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2) b+a^(n-3) b^2+⋯+〖ab〗^(n-2)+b^(n-1))

Si se aplica esta identidad como a=1 y b= 1/2 se tiene

1-1/2^n =(1+1/2)(1+1/2+1/2^2 +1/2^3 +⋯+1/2^(n-1) )

↔1+1/2+1/4+1/8+⋯+1/2^(n-1) =(1-1/2^n )/(1/2)

Al comparar esta ecuación y se obtiene

Sn=2 (1-1/2^n )

Como lim┬(n→+∞)⁡〖1/2^n 〗=0, se tiene

lim┬(n→+∞)⁡〖s_n 〗=2

Por tanto, la serie infinita tiene la suma de 2.

Prueba De La Razón (Criterio De D’Alembert)

Sea ∑▒a^n una serie con términos positivos y supóngase que

lim┬(n→∞)⁡〖 (an+1)/an〗=ρ

Entonces,

La

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