Axioma del Supremo

Axioma del Supremo

El significado de límite superior es conocido por todos, el cual es el máximo de los valores.

Pero el concepto de supremo es un poco diferente del límite superior.

También es conocido como extremo superior.

En términos de teoría de conjuntos un supremo puede ser definido como un valor x de un conjunto de valores, tal que ningún otro valor del conjunto es mayor que x.

También existe otro valor y positivo que puede ser muy pequeño para el cual x - y es mayor que x.

Considere un conjunto A subconjunto de los números reales R. Entonces,

1. El Máximo de A será un valor que debe ser mayor que todos los valores en el conjunto A.

2. El Mínimo de A será un valor que debe ser menor que todos los valores en el conjunto A.

En términos de funciones un supremo puede ser definido como un valor de x en el dominio de la función dada tal que f(y) x para todos los valores en el dominio de la función dada.

También existirá otro valor positivo a, que puede ser muy pequeño para el cual (x - a) es menor que f(x).

La teoría axiomática de conjuntos establece que para un determinado conjunto de números reales que es no vacío, siempre existe un supremo / extremo superior que puede no ser algún número real, dado que el conjunto de números reales está acotado superiormente.

Esta teoría también se aplica a los números complejos.

El supremo de un conjunto A también es llamado sup A.

Otra formulación de la teoría axiomática de conjuntos es que la convergencia de una serie de números reales es otro número real.

Un dato muy interesante acerca del supremo es que no existe supremo para un conjunto de números racionales en particular.

Vamos a echar un vistazo a la prueba del teorema dado,

Suponga que la serie Xn es convergente a X. Ahora sea un conjunto Y = {Xn: Xn <= X}.

Este conjunto abarcaría todos los valores de la serie Xn que son más pequeños que los valores de X.

Con respecto a la declaraciones anteriores, se puede decir que X es el supremo de Y.

Por el contrario, si tenemos un conjunto de números reales que está acotado superiormente, sea Xn una serie que consiste en los elementos de Y.

Es esencial que todos los elementos de Y se coloquen en orden creciente.

Ahora bien, por la definición de extremo superior / supremo, para algún número pequeño que es positivo hay un elemento en el conjunto dado (el Xnavo elemento del conjunto Xn) tal que Xn sea mayor que X – a, donde a es un valor dado.

Dado que la serie dada está organizada en orden creciente, tenemos que todos los valores de Xn

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