Calculo

En general, si x = 0 es un punto singular regular de (1), las funciones x P(x) y x 2Q(x) obtenidas de (2) son analíticas en cero; es decir, los desarrollos

xP(x) = PO + p1x + p2X2 + . . y       x2Q(x) – q0 + q 1x + q2 x2 + . . .          (12)

son válidos en intervalos que tengan un radio de convergencia positivo. Después de sustituir en (1) o (2) y simplificar, la ecuación indicativa es cuadrática en r, y se original igualar a cero el coeficiente total de la potencia mínima de x. Un desarrollo directo muestra que la ecuación indicativa general es

r(r ‑ 1) + p0r + q0 = 0. Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â (13)

Con esta ecuación se obtienen los dos valores de los exponentes y se sustituyen en una relación de recurrencia como la (7). El teorema 6.2 garantiza que se puede encontrar al menos una solución en serie de la forma supuesta.

Casos de las raíces indicativas Al aplicar el método de Frobenius se pueden diferen­ciar tres casos, que corresponden a la naturaleza de las raíces indicativas. Para fines de nuestra descripción, supondremos que r1 y r2 son las soluciones reales de la ecuación indicial y que, cuando difieran, r1 representa la raíz mayor.

Caso I: las raíces no difieren en un entero Si r1 y r2 son distintas y no difieren en un entero, existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1), cuya forma es

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