Diferenciacion Numerica

Diferenciación Numérica

El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce unicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.

Métodos básicos de la diferenciación numérica

El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso “difícil” ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.

Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto “x” esta dada en términos del límite:

De esta definición podemos decir que si “h” es pequeño entonces:

(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de contestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

Donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f’(x) y usamos la definición de tenemos que:

Esta formula nos dice que aproxima a f’(x) con un error proporcional a “h”, i.e., O(h). Ejemplo 1: Tomamos y queremos aproximar cuyo valor exacto es nueve. En la siguiente figura ilustramos los errores como función de “h” en escala logarítmica.

Podemos ver que los errores disminuyen hasta un cierto valor crítico “hmin” luego del cual los errores aumentan según la “h” disminuye. ¿Contradice esto el resultado de arriba de O (h) del error? ¡NO! El resultado de arriba es sobre la convergencia si la aritmética es exacta y se dice que es un resultado asintótico. La figura ilustra los efectos de redondeo debido a la aritmética finita los cuales se hacen significativos para “h” pequeño y pueden afectar cualquier formula numérica para aproximar la derivada. Sin embargo, una formula con un grado de aproximabilidad digamos O(h2) es preferible a una O(h) ya que los errores (teóricos) tienden a cero más rápido y asi la “h” no se tiene que hacerse tan pequeña reduciendo así los efectos de los errores por la aritmética finita. <> El método de arriba usando la expansión de Taylor se puede utilizar para obtener formulas para aproximar la derivada con un grado de aproximabilidad más alto que uno. Ilustramos esto para la obtención de una formula O (h2). Si en lugar de llegar hasta términos de orden dos, expandimos hasta términos de orden tres en la expansión de Taylor, obtenemos las formulas:

Si restamos estas dos ecuaciones, despejamos para f’(x), y usamos el teorema del valor medio aplicado a f’‘’(x) obtenemos la formula:

Donde y esta entre [x-h,x+h]. Tenemos pues que la formula tiene un error proporcional a O (h2). Ejemplo 2: Comparamos las dos formulas obtenidas hasta ahora para aproximar f’(x) con el ejemplo de para. Los resultados los presentamos en forma tabulada para distintos valores de h: h 0.1 13.5795 4.57948 9.85264 0.852636 0.05 11.0266 2.02656 9.21079 0.210788 0.025 9.95452 0.954519 9.05255 0.0525492 0.0125 9.46337 0.463374 9.01313 0.0131281

Este ejemplo ilustra lo superior de la formula. Note que cada ves que h se divide entre dos, el error en la formula se divide por dos (aproximadamente) mientras que en la formula se divide (aproximadamente) por cuatro (¿por qué?). <> En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de 3h, etc. Por ejemplo la expansión2h, xTaylor que envuelvan x

Donde

Y esta entre [x-h, x+h]. Tenemos aquí una formula de orden dos para f”(x). Ejemplo 3: Examinamos la formula de arriba en el caso y para aproximar f ‘’(1)=72. Tenemos los resultados: h 0.1 74.5368 2.53682 0.05 72.6311 0.63105 0.025 72.1576 0.157566 0.0125 72.0394 0.0393791 Nuevamente se puede ver el factor de cuatro en el error, característico de la convergencia de orden dos. <> En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando 3h, etc. Por ejemplo la expansión2h, xexpansiones de Taylor que envuelva x

Nos da una formula de orden cuatro para f”(x). Diferenciación usando polinomios de interpolación: Suponga que son puntos distintos y sea pn(x) el polinomio que interpola a f(x) en estos puntos. Entonces aproximamos f ‘(x) por:

Suponga que. Se puede demostrar que no discutiremos en más detalles este método para aproximar derivadas, si mencionamos que las dos formulas que discutimos para aproximar f ‘(x) se pueden obtener usando polinomios de interpolación de grados uno y dos respectivamente.

formula de la diferencia Diferencia finita Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales. Diferencias anterior, posterior y central Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central. Una diferencia anterior es una expresión de la forma

Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en términos del límite:

De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de contestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

Donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f'(x) y usamos la definición de tenemos que:

Esta formula nos dice que aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O (h).

Ejemplo Comparamos las dos formulas obtenidas hasta ahora para aproximar f'(x) con el ejemplo de para . Los resultados los presentamos en forma tabulada para

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