INTEGRAL CON DERIVE

Cálculo Integral

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6. CÁLCULO INTEGRAL.

6.1. LA INTEGRAL DEFINIDA DE RIEMANN: UNA APROXIMACIÓN CON

DERIVE.

La integral definida de Riemann surge a partir del problema del cálculo de áreas de

superficies limitadas por curvas.

En el desarrollo del concepto de función integrable de una función acotada definida en

un intervalo acotado, aparecen los conceptos de integral superior e integral inferior de

Riemann. La idea consiste en efectuar aproximaciones por exceso y por defecto utilizando

los rectángulos exteriores e interiores a la curva, en función de una determinada partición

del intervalo.

Para efectuar esta práctica vamos a cargar el fichero RIEMANN.MTH mediante la

secuencia de comandos Archivo-Leer-Utilidad, tal como se explicó en la primera parte

sobre el manejo de ficheros con DERIVE.

Consideremos una función cualquiera, por ejemplo f(x)=x2, definida en el intervalo

[0,2]. Una vez abierta una ventana 2-D con el botón , representamos esta función con

el botón de en la ventana 2D. Supongamos que efectuamos una partición del intervalo

[0,2] en 4 subintervalos. Si deseamos dibujar los rectángulos inferiores, basta que editemos

la expresión

y la simplifiquemos (obsérvese que _ es el subrayado).

Antes de dibujar los rectángulos es conveniente efectuar dos operaciones previas:

1. Indicar que el dibujo una sucesivamente los puntos que se van representando.

Para ello, una vez situados en la ventana 2D, con el comando Opciones-

Pantalla-Puntos debemos marcar la opción Unir-SI. Con esto se consigue que

se dibujen correctamente los rectángulos.

2. Indicar a DERIVE que dibuje sólo en un color, para que los rectángulos resulten

homogéneos. Esto se consigue desmarcando la opción Opciones-Cambio-decolor.

De esta forma todas las gráficas se dibujaran en un solo color.

A continuación ya podemos aplicar y obtenemos

Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5

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Para dibujar los rectángulos superiores editamos y simplificamos la expresión

y al dibujar con se obtiene

Si deseamos obtener las sumas inferiores asociadas a esta partición editamos y

aproximamos la expresión

y se obtiene el valor aproximado

Editando y aproximando ahora la expresión

obtendremos la estimación de las sumas superiores asociadas a esta partición de 4

subintervalos

Si deseamos efectuar el mismo procedimiento con 16 intervalos, para dibujar los

rectangulos inferiores (previamente borramos todas las gráficas con la secuencia Editar-

Borrar-Todas-las-Gráficas) editamos la expresión

y al simplificar con y representar mediante y se obtiene

(la gráfica de la función x2 se tiene que volver a dibujar)

Cálculo Integral

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Para dibujar los rectángulos superiores basta editar

y representar la expresión obtenida al simplificar la anterior, obteniéndose

También podríamos obtener las sumas inferiores asociadas a esta partición

y las sumas superiores

Obsérvese que los valores de las sumas superiores van disminuyendo y los de las sumas

inferiores van aumentando.

Para calcular la integral superior de Riemann efectuamos un paso al límite. Su cálculo

se puede implementar en DERIVE definiendo la siguiente expresión

y lo mismo para la integral superior de Riemann

De tal forma que si deseamos calcular la integral inferior de Rieman de la función x2 en

el intervalo [0,2], basta editar la expresión

que al simplificar nos da

Para el cálculo de la integral superior de Riemann editamos

y se obtiene el mismo valor

Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5

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Luego se puede afirmar (bajo ciertas condiciones de la función f(x)) que la función es

integrable. De hecho, si hubiésemos efectuado el cálculo de la integral definida de forma

directa con DERIVE hubiésemos obtenido el mismo resultado:

6.2. FUNCIÓN INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN INTEGRABLE.

EJEMPLO 6.1.

Dada la función

  

+ <

≤ ≤

=

x x

x x

f x

2 1

2 0 1

( )

(a) Representar la función f(x)

(b) Calcular la función integral F(x) de f en [0,3].

(c) Representar gráficamente las dos funciones f(x) y F(x)

(d) ¿Es continua la función integral en [0,3]? ¿Es derivable en [0,3]?

(e) La función f(x) ¿tiene una primitiva en [0,3]?

Solución.

(a) Para representar f(x), vamos a definirla editando “f(x):=if(x≥0,if(x≤1,2x,x+2))” y se

obtiene la expresión:

A continuación aplicamos NuevaVentana2D y luego representamos con y

obtenemos la gráfica

(b) Como puede observarse en la gráfica, f(x) es continua salvo en x=1, por tanto es

integrable Riemann y en consecuencia existe su función integral.

Cálculo Integral

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Para calcular la función integral debemos calcular dos integrales definidas, en

función de x. Si x∈[0,1], tendremos que calcular la integral definida

que al simplificar resulta

Por otro lado si x>1 debemos calcular

∫ + ∫ +

x

tdt t dt

1

1

0

2 ( 2)

Es decir, construimos en primer lugar en DERIVE

en segundo lugar la integral

y a partir de ellas construimos la suma de ambas

que al simplificar resulta

Por tanto



 

+ − ≤

≤ ≤

= x x x

x x

F x 1

2

2 3

2

0 1

( ) 2

2

(c) Para representar ahora F(x), junto a f(x), editamos la función integral mediante la

expresión “f_integral(x):=if(x≥0,if(x≤1,x^2,x^2/2+2x-3/2))” y a continuación

aplicamos y representamos con obteniéndose

Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5

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(d) Según esta gráfica, se puede observar que F(x) es CONTINUA (propiedad que

siempre debe cumplir una función integral), pero no es DERIVABLE en x=1. En la

gráfica se puede apreciar una angulosidad, es decir, que la pendiente a la izquierda

del 1 es distinta a la pendiente a la derecha del 1.

(e) Según lo dicho en (d), F(x) no es DERIVABLE y por tanto no puede ser una

PRIMITIVA de f(x).

6.3. CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS.

...