La función factorial

La función factorial es formalmente definida mediante el producto

n! =

1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n

.

La multiplicación anterior se puede simbolizar también utilizando el operador productorio:

n! =

\prod_{k=1}^n k

.

También es posible definirlo mediante la relación de recurrencia

n! =

\begin{cases}

1 & \text{si, } n = 0 \\

(n-1)!\times n & \text{si, } n > 0

\end{cases}

Todas las definiciones anteriores incorporan la premisa de que

0! = 1

Cero factorial[editar · editar código]

La definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.

Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como:

0! = 1

Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:

Para cada número entero positivo n mayor que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:

(n-1)! =

\frac{n!}{n}

válida para todo número mayor o igual que 1.

Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque

\frac{5!}{5} =

\frac{120}{5} =

24

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que

\frac{4!}{4} =

\frac{24}{4} =

6

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que:

2! =

\frac{3!}{3} =

\frac{6}{3} = 2

,\qquad

1! =

\frac{2!}{2} =

\frac{2}{2} =

1

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n!=1 tendríamos que 0! corresponde a:

0! =

\frac{1!}{1} =

\frac{1}{1} =

1

...