Reporte De Lectura

INDICE

Contenido

INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LIENEALES 2

Definición 2

NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL 3

LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL 6

Ejemplos 7

APLICACIÓN DE LAS TRANFORMACIONES LINEALES 9

(REFLEXION, DILATACION, CONTRACCION Y ROTACION) 9

Reflexión 9

Rotación 10

Dilatación 12

Contracción 13

CONCLUCIÒN 14

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFIA 16

INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LIENEALES

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Definición

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal De V a W es una función T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier

Escalar c:

• T (u + v) = T (u) + T (v)

• T(c u) = c T (u)

Ejemplo

NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definición 2 Sea L: V → W, una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores v ∈ V tales que L(v) = 0, se llama “Kernel” o núcleo de L.

Definición 3 Sea L: V → W, una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores w ∈ W Tales que existe un v ∈ V y L(v) = w, se llama imagen de L.

Proposición 2 Sea L: V → W, una transformación lineal, entonces el kernel de L es un subespacio vectorial de W.

Proposición 3 Sea L: V → W, una transformación lineal, entonces L es inyectiva (uno a uno) si y sólo si ker(L) = {0}.

Demostración:

Sea L una transformación lineal entonces, y sean v1, v2 tales que T(v1) = T(v2), entonces T(v1)− T(v2) = 0, o sea T(v1 − v2) = 0, lo que implica que v1 − v2 = 0, es decir v1 = v2. Así T es inyectiva.

Definición 4 Sea L: V → W, una transformación lineal, entonces el rango de L es la dimensión de la imagen de L.

Definición 5 Sea L: V → W, una transformación lineal, entonces la nulidad de L es la dimensión del núcleo de L.

Definición 6 Sea f: V -> W una transformación lineal de un e.v. V, en un e.v W. El Núcleo de f, (Nf), es el subconjunto del e.v. V que consta de todos los elementos u de V tales que: f (u) = 0w. Esto quiere decir que las imágenes de los vectores de V es el vector nulo del e.v. W.

En forma matemática el Núcleo es igual a: Nf= {u Є e.v V de salida / f (u) = 0w), Donde 0w es el vector nulo del e.v. de llegada W. El Núcleo puede tener varios vectores de V, incluido el vector nulo 0v, o sólo el vector nulo.

Sea f: V -> W es una T.L de un e.v V en un e.v W, entonces el recorrido de f o imagen de V bajo f, denotada por Img f, consta de todos aquellos vectores en W (e.v de llegada) que son imágenes bajo f de vectores en V. Es decir, v está en Img f si podemos hallar algún vector u en V tal que f (u)= w.

En forma matemática la Img f podemos escribirla de la siguiente manera: Img f = { w Є e.v de llegada / f (u) = w}, donde u es elemento del e.v de salida.

La imagen de una T.L puede ser una parte del conjunto de llegada o todo el conjunto de llegada.

LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Si bien

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