LÓGICA CUANTIFICACIONAL

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LÓGICA CUANTIFICACIONAL

CUANTIFICADORES UNIVERSAL Y EXISTENCIAL

CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Si a una función proposicional, le anteponemos la expresión "para todo x", estaremos indicando el sentido universal de dicha función proposicional, obteniéndose ahora una proposición lógica.

Notación:[pic 12]

[pic 13] ó  [pic 14] ó [pic 15]

Se lee:

              "para todo x, tal que, se verifique [pic 16]”.

Ejemplos:

1. Si tenemos una función proposicional:

[pic 17] [no es proposición lógica]

y ahora le agregamos el cuantificador universal "[pic 18]".

[pic 19]

[pic 20] [Proposición lógica]

Tendremos una proposición lógica, cuyo valor es falso, porque no todos los valores de "x" cumplirán la proposición, por ejemplo: para [pic 21] , no se cumple. Entonces es falso que para todo "x", se cumpla: [pic 22]

1. Si A={-1,1,2,3} se tiene:

1. [pic 23] , la proposición universal es falsa, pues hay al menos un elemento de [pic 24] que no es número natural.
2. [pic 25] , la proposición es verdadera , pues cada uno de los elementos de A cumple la propiedad: [pic 26] 

1. Todos los mamíferos caminan

[pic 27] donde m representa un elemento del universo “mamíferos” , c ( ) representa la propiedad “camina”.  

1. Todos los niños son honestos

[pic 28] donde el predicado N significa niños , H honestos y “x” es un elemento de dominio que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado.  

5.  P(x): ∀x ∈ R, (x – 3)2 = x 2 – 6x + 9, que en efecto, es una identidad verdadera para todo número real x. Luego, la proposición es verdadera.

6. Q(x): ∀x ∈ R, x ≤ 3, que no es verdadera para todo número real x. Por ejemplo q(5): 5 ≤ 3 es falsa. Por lo tanto, la proposición es falsa.

7. [pic 29] 

a.[pic 30] 

la proposición es falsa , ya que no todos los elementos de U satisfacen las proposición.

b.[pic 31] 

La proposición es verdadera , ya que no todos los elementos de U satisfacen [pic 32].

8. Todas las empresas tienen un administrador capacitado.

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