Algebre Lineal

Unidad 3. Sistemas de ecuaciones lineales

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

Sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n).

aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n).

ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m).

Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n.

Los escalares a ij y ci son números reales.

El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación.

Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con la s letras x, y, z, t, ...

Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.

Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.

Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1.

El término independiente de la misma es el 2.

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:

1. Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema

2. Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución

3. Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución

¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones?

1. Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales

Ejemplo:

2. Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son

Ejemplo:

3. Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra

Ejemplo:

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones

Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:

▲ Un punto único. Sistema compatible determinado.. Los tres planos se cortan en P.

• Una recta. Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.

Los planos se cortan en r.

▼ Un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.

◄ Ningún punto. El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.

Se pueden presentar varios casos: Que los planos sean paralelos:

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer.

Eliminación de Gauss

Este método se aplica para resolver sistemas de líneas obteniendo un sistema equivalente:

De donde la notación se usa simplemente para denotar que cambio. Se despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el método consiste en la eliminación hacia delante y la sustitución hacia atrás

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema por eliminación Gaussiana

Matriz de Gauss-Jordan

Este método utiliza las mismas técnicas de eliminación Gaussiana con el objetivo de finalizar con una matriz de la siguiente forma:

1 0… 0

0 1... 0

0 0… 1

De donde , y son las soluciones de sistemas de ecuaciones.

Ejemplo 1

Usar el método de Gauss – Jordan para dar solución al siguiente sistema de ecuaciones

MÉTODO MATRIZ INVERSA

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales;

Sea A la matriz de los coeficientes,

Sean X y B los vectores columnas definidos por

Empleando la multiplicación matricial, el anterior sistema de ecuaciones lineales puede entonces escribirse como

Aquí A es una matriz de 3x3, X es una de 3x1 y el producto es una matriz de 3x1, los mismo que B. En el caso general A sería de n x n, X de n x 1, y B de n x 1.

Supongamos ahora que A es no singular. Entonces la inversa A−1 existe y podemos multiplicar ambos miembros de A • X = B por A−1 por la izquierda, para obtener

Pero tenemos

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