Paradoja De Russell

PARADOJA DE RUSSELL

Haciendo avanzar el grado de abstracción un poco, observamos que los miembros de un conjunto pueden ellos mismos ser conjuntos. Para el conjunto de los miembros T={a, {b,c}}, el primer miembro es a y el segundo es el conjunto { b, c}. O supóngase que permitimos que W sea el conjunto consta del conjunto de todos los números enteros pares y el conjunto de todos los números enteros impares. Esto es,

W={{ 2, 4, 6, 8, ...} , { 1, 3, 5, 7, ...}}.

El conjunto W tiene dos miembros, siendo cada uno de ellos en sí mismo un conjunto que consta de una infinitud de miembros.

El hecho de que un conjunto pueda tener como miembros a conjuntos suscitó a Russell una pregunta curiosa: ¿Puede un conjunto contenerse a sí mismo? Escribió que "me parecía que una clase a veces es y a veces no es miembro de sí mismo"(24).

Ponía como ejemplo el conjunto de todas las cucharillas, que ciertamente es una cucharilla. Por tanto, el conjunto de todas las cucharillas no es un miembro de sí mismo. Asimismo, el conjunto de todas las personas, no es él mismo una persona y por ello no es un miembro de sí mismo.

Por otra parte, a Russell le parecía que ciertos conjuntos sí de contienen a sí mismos como miembros. Su ejemplo era el conjunto de todas las cosas que no eran cucharillas. Este conjunto de no cucharillas, contenía tenedores, primeros ministros británicos, números con 8 cifras; efectivamente, todo lo que no es una cucharilla. Pero el conjunto mismo no es con seguridad una cucharilla. ( no se podía mover el té con él ) y, por tanto, correctamente, pertenece dentro de sí mismo todavía a otra no cucharilla.

O considérese el conjunto X de todos los conjuntos que se pueden describir mediante 20 o menos palabras. El conjunto de todos los búfalos sería un miembro de X, ya que su descripción "El conjunto de todos los búfalos", sólo requiere 6 palabras. Asimismo, "el conjunto de todas las púas de puerco espín" ( 8 palabras ) está en X, al igual que "el conjunto de todos los mosquitos que viven en Sudáfrica" ( 10 palabras). Pero este criterio de pertenencia garantiza que X ("el conjunto de todos los conjuntos que se pueden describir con 20 o menos palabras"), al haber sido descrito , por tanto, en 14 palabras debe incluirse dentro de sí mismo.

Claramente cada conjunto pertenece a una de estas dos categorías. O es un conjunto, como las cucharillas, que no es miembro se sí mismo -en cuyo caso lo llamaremos conjunto de Russell-, o es un conjunto, comoX, que no se contiene a sí mismo entre sus miembros.

Estas inocentes reflexiones tomaron un giro amenazador cuando Russell decidió considerar el conjunto de todos aquellos conjuntos que no son miembros de ellos mismos. Estos es, decidió reunir todos los conjuntos de Russell en un enorme conjunto nuevo al que llamaremos R. Entonces R tendrá entre sus miembros el conjunto de todas las cucharillas, el conjunto de todas las personas y muchísimos más.

Y ahora viene la pregunta que conmovió los fundamentos: ¿Es R miembro de sí mismo? Esto es, ¿es el conjunto de todas los conjuntos de Russell un conjunto de Russell?. Sólo puede haber dos respuestas a esta pregunta: si o no.

Supongamos que la respuesta es que sí. Entonces R es un miembro de R. Para convertirse en miembro, R tiene que haber satisfecho el criterio de pertenencia que subrayábamos en cursiva anteriormente: R es miembro de sí mismo. Por tanto, si R es miembro de R, entonces R no puede ser miembro de R. Esta abierta contradicción excluye la posibilidad de un "sí" a la pregunta mortal.

Pero, ¿qué ocurre si la respuesta es un no y R no es miembro de R? Entonces R ciertamente no es un miembro de sí mismo y, como nuestro conjunto de cucharillas, cumple el requisito de pertenencia para ser admitido en R. Por tanto, si R no es un miembro de R, automáticamente debe convertirse en miembro de R. De nuevo nos enfrentamos a una contradicción.

Para Russell todo esto debería haber sido muy sencillo. Sin embargo, de alguna forma "cada alternativa lleva a su opuesta y se da una contradicción". Quedó perplejo por la "clase tan particular" que había creado con una forma de razonar que "hasta ese momento le había parecido adecuada"(25) . Es lo que ahora llamamos la paradoja de Russell.

Puede resultar de ayuda presentar una ilustración algo más concreta de las sutilezas lógicas de su argumentación. Supongamos que un conocido experto en obras de arte decide clasificar las pinturas del mundo en una de dos categorías mutuamente excluyentes. Una categoría, de muy pocos cuadros, consta de todas las pinturas que incluyen una imagen de ellas mismas en la escena presentada en el lienzo. Por ejemplo, podríamos pintar un cuadro, titulado Interior, de una habitación y su mobiliaria -colgaduras en movimiento, una estatua, un gran piano- que incluye, colgando encima del piano, una pequeña pintura del cuadro Interior. Así, nuestro lienzo incluiría una imagen de sí mismo.

La otra categoría, mucho más corriente, constaría de todos los cuadros que no incluyen una imagen de sí mismos. Llamaremos a estos cuadros "Pinturas de Russell". La Mona Lisa, por ejemplo, es una pintura de Russell porque no tiene dentro de ella un pequeño cuadro de la Mona Lisa.

Supongamos además que nuestro experto en obras de arte monta una enorme exposición que incluye todas las pinturas de Russell del mundo. Tras ímprobos esfuerzos, se han reunido y colgado de las paredes de la sala inmensa. Orgulloso de su hazaña, el experto encarga a una artista que pinte un cuadro de la sala y de sus contenidos.

Cuando el cuadro esté terminado, la artista lo titula, con toda propiedad, Todas las pinturas del Russell del mundo. El galerista examina el cuadro cuidadosamente y descubre un pequeño fallo: sobre el lienzo, junto al cuadro de la Mona Lisa hay una representación de Todas las pinturas de Russell del mundo. Esto quiere decir que Todas las pinturas del mundo es un cuadro que incluye una imagen de sí mismo, y por consiguiente,

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